Разделы сайта
Читаемое
Обновления Mar-2024
|
Промышленность Ижоры --> Теоретическая механика лен этот вектор. Если вектор А изменяется только по направлению (см. (В.76)), его годографом является кривая, расположенная на сфере радиусом А. Годограф будет плоской кривой, если вектор А остается параллельным некоторой неподвижной плоскости. Рис. в.18 Найдем производную вектора A(t) по скалярному аргументу /. Предел отношения А А (рис. В.18, б) к At (при А/0), если он существует, называется производной вектора по скалярному аргументу Л Это определение совпадает с определением производной от скалярной функции. Таким образом, (В.79) На годографе (см. рис. В.18, а) вектор АА направлен вдоль хорды, или по секущей А/. В пределе (А/0 ) секущая М. занимает положение касательной и, следовательно, направив? ление производной - совпадает с направлением касательной к dt годографу вектора A(t) в точке М Если вектор выражен через его проекции на неподвижные оси (см., например, (В.77), где i, j\ к - векторы, постоянные по модулю и направлению), то dA d , - . . dA, dA, dA, - т. е. производная вектора по скалярному аргументу есть вектор, проекции которого на неподвижные оси равны производным по тому же аргументу от проекций дифференцируемого вектора. Это утверждение справедливо и для производной -го порядка: dt dt dt dt Как и для скалярных, для векторных функций справедливы следующие выражения: UaB) = BA, (В.82) dt dj dt d - - dA - - dB - (AxB) = - xB + Ax -. (B.83) dt dt dt Рассмотрим теперь частный случай дифференцирования некоторого вектора В, который изменяется только по направле- нию, т. е. = В = const. Годограф такого вектора - кривая, рас- положенная на сфере радиусом В, Производная этого вектора - есть вектор, перпендикулярный к дифференцируемому dt (рис. В. 19). Действительно, поскольку, согласно (В.21), . 5-5 =5 =const, то, дифференцируя это равенство, с учетом (В.82) получаем Следовательно, Пусть за время At вектор В повернулся на угол Аф и полу- чил приращение АВ. Модуль вания равнобедренного треугольника ( при вершине (см. рис. В.19): ,-=г . Дф 1-=н 8ш(Дф/2) можно найти как длину осно- В + АВ = 25 Аф/2 ) с углом Дф (В.84) Тогда dB = lim 8т(Дф/2),.Дф Дф Дф/2 lim-= /-*о At А/-*0 At (В.85) Обозначим предел lim -= со*. В ЛГ-*0 Д/ общем случае предел отношения Дф d(D не является производной At dt поскольку для вектора, годограф которого - пространственная кривая, не существует функщш Ф = ф(0, которая определяла бы его положение. Введем единичный вектор Pq±B , направленный в соответствии с поворотом вектора В . Тогда с учетом (В.85) имеем Рис. В.19 /0 = 5 limo = Д-*о At (B.86) Таким образом, производная вектора постоянного модуля по скалярному аргументу равна произведению его модуля на ©* и на единичный вектор, перпендикулярный дифференщфуемому и направленный в соответствии с поворотом вектора В . Остановимся на случае, когда вектор В остается параллельным неподвижной плоскости и поэтому его годографом будет окружность радиусом В . Тогда существует функция ф = ф(0,
|
© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка |