Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Теоретическая механика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

лен этот вектор. Если вектор А изменяется только по направлению (см. (В.76)), его годографом является кривая, расположенная на сфере радиусом А. Годограф будет плоской кривой, если вектор А остается параллельным некоторой неподвижной плоскости.


Рис. в.18

Найдем производную вектора A(t) по скалярному аргументу /. Предел отношения А А (рис. В.18, б) к At (при А/0), если он существует, называется производной вектора по скалярному аргументу Л Это определение совпадает с определением производной от скалярной функции.

Таким образом,

(В.79)

На годографе (см. рис. В.18, а) вектор АА направлен вдоль хорды, или по секущей А/. В пределе (А/0 ) секущая М. занимает положение касательной и, следовательно, направив?

ление производной - совпадает с направлением касательной к dt

годографу вектора A(t) в точке М



Если вектор выражен через его проекции на неподвижные оси (см., например, (В.77), где i, j\ к - векторы, постоянные по модулю и направлению), то

dA d , - . . dA, dA, dA, -

т. е. производная вектора по скалярному аргументу есть вектор, проекции которого на неподвижные оси равны производным по тому же аргументу от проекций дифференцируемого вектора. Это утверждение справедливо и для производной -го порядка:

dt dt dt dt

Как и для скалярных, для векторных функций справедливы следующие выражения:

UaB) = BA, (В.82)

dt dj dt

d - - dA - - dB

- (AxB) = - xB + Ax -. (B.83)

dt dt dt

Рассмотрим теперь частный случай дифференцирования некоторого вектора В, который изменяется только по направле-

нию, т. е.

= В = const. Годограф такого вектора - кривая, рас-

положенная на сфере радиусом В, Производная этого вектора

- есть вектор, перпендикулярный к дифференцируемому dt

(рис. В. 19). Действительно, поскольку, согласно (В.21),

. 5-5 =5 =const, то, дифференцируя это равенство, с учетом (В.82) получаем

Следовательно,



Пусть за время At вектор В повернулся на угол Аф и полу-

чил приращение АВ. Модуль

вания равнобедренного треугольника (

при вершине (см. рис. В.19):

,-=г . Дф 1-=н 8ш(Дф/2)

можно найти как длину осно-

В + АВ

= 25

Аф/2

) с углом Дф

(В.84)

Тогда dB

= lim

8т(Дф/2),.Дф Дф

Дф/2

lim-= /-*о At

А/-*0 At

(В.85)

Обозначим предел lim -= со*. В

ЛГ-*0 Д/

общем случае предел отношения

Дф d(D

не является производной At dt

поскольку для вектора, годограф которого - пространственная кривая, не существует функщш Ф = ф(0, которая определяла бы его положение.

Введем единичный вектор Pq±B , направленный в соответствии с поворотом вектора В . Тогда с учетом (В.85) имеем


Рис. В.19

/0 =

5 limo = Д-*о At

(B.86)

Таким образом, производная вектора постоянного модуля по

скалярному аргументу равна произведению его модуля на ©* и на единичный вектор, перпендикулярный дифференщфуемому и направленный в соответствии с поворотом вектора В .

Остановимся на случае, когда вектор В остается параллельным неподвижной плоскости и поэтому его годографом будет

окружность радиусом В . Тогда существует функция ф = ф(0,



1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка