ной модели (включая Выше было сказано о применении таких планов для выделения существенных факторов.

Естественно, что уменьшение числа опытов в ДФЭ по сравнению с ПФЭ связано с тем, что при применении дробных реплик линейные эффекты смешиваются с эффектами взаимодействий. Это означает, что если в действительности рхаз Ф О, то коэффициент модели &4, оцененный по плану ДФЭ типа 2* , будет оценкой суммы (р* + Рт)-Смешанными оказываются и другие линейные эффекты. Для определения системы смешивания надо знать генерирующие соотношения (ГС) и определяющие контрасты (ОК). Генерирующим соотношением плана ДФЭ типа 2* является соотношение = хХх. Определяющим контрастом называют символическое произведение столбцов плана, равное +1. Умножим обе части ГС на х, получим Х4 = = XiXXsXi или 1 = XiXXsXi, - это и есть ОК. Умножив столбец, соответствующий данному эффекту, на ОК, узнаем, с каким эффектом он смешан;

Xi = xiOK = х\х2ХъХа = X2XzXi (тзк как х\= 1);

Х2 = Х-ОК = XixlxzXi = Х1Х3Х4;

Хг = ХгОК = XiX2xlx4 = Х1Х2Х4;

Х1Х2 = XxXiOK = х\х1хъХа = ХзХи

Х1Х3 = XiXbOK = х\х2х1х4 = Х2Х4; XvXi == Х2Х2ОК = XixlxlXi = XiXi.

Это значит, что коэффициенты модели, построенной по плану ДФЭ типа 2*-1, будут оценками

Ьг bs

Pi + P234;

P2 + Р1З4;

Рз + P124;

P4 + Р12З;

&12

P12 + P34;

Pl3 + P24. Р2З + Pl4.

Таким образом, применение ДФЭ всегда связано со смешиванием, т. е. с совместным оцениванием нескольких теоретических коэффициентов р регрессии одним коэффициентом математической модели. Следовательно, достаточно точная оценка эффекта влияния фактора возможна лишь при относительной незначимости смешиваемых с ним эффектов.

Дробные факторные эксперименты называют планами ДФЭ типа 2*- , где р - число факторов, для которых требуются генерирующие соотношения. Планирование ДФЭ предполагает наличие у исследователя некоторых априорных сведений о влиянии взаимодействий факторов на выход модели (хотя бы на уровне допущений).

Рассмотрим теперь про1адуру отыскания оценок коэффициентов уравнения регрессии (19.2) по результатам опытов в Л точках плана ПФЭ или ДФЭ. Это является типичной задачей множественного

регрессионного анализа при выполнении следующих предпосылок: результаты эксперимента г/ (и = 1, Щ являются независимыми] нормально распределенными случайными величинами; оценки построчных дисперсий однородны, т. е. не зависят от номера и строки плана; факторы Xi при эксперименте измеряются достаточно точно.

Обычно при реализации плана эксперимента в каждой его точке проводят т параллельных опытов и результаты их усредняют:

1 VI

Параллельные опыты позволяют найти оценки построчных дисперсий воспроизводимости эксперимента

и проверить предпосылку об их однородности. Для проверки используют критерий Кохрэна (при одинаковом т в каждой строке плана). Согласно этому критерию вычисляют отношение максимальной оценки дисперсии к сумме всех оценок дисперсий

Р max (i/u}

Если для выбранного уровня значимости а (обычно а == 0,05) эмпирическое G окажется меньше критического значения G p, найденного по таблице критерия Кохрэна для Vj = m - 1 и Vj == Л/, то гипотеза об однородности не отвергается. В этом случае можно вычислить лучшую оценку дисперсии воспроизводимости эксперимента

с числом степеней свободы v =-N (т - 1). Далее по результатам эксперимента и матрице планирования находят оценки коэффициентов Ь , bi и b,j модели и их дисперсии {b\. Для этого используют формулы (19.5) и (19.6), внеся в них необходимые изменения, что вызвано наличием параллельных опытов в точках плана. С учетом изменений указанные формулы принимают вид

-V Л N

ii=l и-1 и=1

с числом степеней свободы v = Л/ (т - 1).

После определения оценок коэффициентов регрессии необходимо проверить их значимость с помощью критерия Стьюдента. Если эмпирическое значение отношения

превышает критическое значение # р, найденное по таблице критерия Стьюдента дяя t - N {т - 1) при заданном уровне значимости а (обычно а = 0,05), то соответствующую оценку Ь коэффициента признают значимой. Проверку проводят для каждого коэффициента регрессии, незначимые оценки отбрасывают без пересчета остальных.

Завершает обработку результатов эксперимента проверка адекватности модели. Для этого средние значения i/ выхода изучаемого объекта сравнивают с результатами расчета по полученному уравнению регрессии в тех же точках факторного пространства. Отклонения расчетных значений от эмпирических характеризует дисперсия адекватности

с числом степеней свободы Уад = N -d, где d - число значимых оценок коэффициентов регрессия.

Проверку адекватности осуществляют с помощью F-критеряи Фишера. Если вычисленное значение критерия F = slgls \у) меньше критического / р, найденного по таблице критерия Фишера для Vj = = iV - и V2 = V = iV (m - 1) при заданном уровне значимости а, то гипотезу об адекватности модели не отвергают. В противном случае модель признается неадекватной, и приходится, как правило, переходить к более сложной (например, квадратичной) форме уравнения регрессии (19.2).

Для построения квадратичных моделей используют планы второго порядка, в которых каждый фактор варьируется как минимум на трех уровнях. Наибольшее распространение получили композиционные планы второго порядка, получаемые из линейных планов ПФЭ и ДФЭ добавлением новых точек - звездных и нулевых (центральных). Звездными называют точки факторного пространства, отстоящие от центра плана на расстояние звездного плеча , нормированное значение которого равно а. Таким образом, для каждого фактора устанавливают пять уровней, нормированные значения которых -а; -1; 0; -f 1; -fa,.

Рассмотрим один из планов второго порядка - ортогональный центральный композиционный план (ОЦКП). План имеет = = (2*- -f 2& -f 1) точек. Обычно при < 4 ядро его составляет ПФЭ, и тогда /? = 0. Кроме линейной части (ПФЭ или ДФЭ) план содержит 2k экспериментов в звездных точках и один эксперимент в центре.

В общем случае вектор-столбцы в и х} плавов второго порядка не ортогональны. Для их ортогонализации вводят преобразование Квадратичных членов модели

где S = (2* + 2а.) - сумма значений уровней стрлбца х\

плана второго порядка в общем случае.

Уравнение регрессии после преобразования принимаег вид

i=l KC<f f=l

к fc k

= fco + I!M,+ S biiXiXj -I- bafi,

i=l 1 </ 1=1

где 6o = 6b - D bu<p.

Из условия ортогональности преобразованных столбцов плана

Il {х% - ф) {х% - ф) = о

можно найти формулу для расчета звездного плеча

= YVW- - 2-1.

Ниже приведены значения а, для некоторых k, а в табл. 19.4 дана матрица планирования ОЦКП для fe = 3 и ф = 0,73.

*.............. 2 3 4 5

............... 1.0 1,215 1,414 1,547

Ядро плана......... од 2* а*-!

2*+ ........... 5 7 9 Ц

............. 9 15 25 27

Проведение эксперимента и обработка его результатов аналогичны рассмотренным выше для линейной модели. Оценки коэффициентов уравнения регрессии определяют по формуле

*i = -- У, ХыУи,

для &в. b,f и bii формулы аналогичны; оценку дисперсии коэффициентов Ьг - по формуле

i%\i\bo\+h<fs\bu\.

19.4. Ортогональный центральный композиционный план дли к - 3 и его матрица

2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15

±1 ±1

-1 +1

-1,215 + 1,215

-1 -1

-1 -1 +1

-1,215 + 1,215

о о о о

-0,215 + 1,215 О

+ 1 -1 -1 + 1

±1

+ 1 О

о о о о о о

+ 1 --1 -1 -1 -1 -1 + 1

о о о о о о о

±1 ±1

о о о о о о

+0,27 --0,27 --0,27 - -0,27 --0,27 --0,27 --0,27 --0,27 --0,75 --0,75 -0,73 -0,73 -0,73 -0,73 -0,73

+0,27 --0,27 --0,27 --0,27 --0,27 --0,27 --0,27 -0,27 --0,73 -0,73 +0,75 +0,75 -0,73 -0,73 -0,73

+0,27 +0,27 --0,27 --0,27 --0,27 -0,27 --0,27 --0,27 -0,73 -0,73 -0,73 -0,73 +0,75 +0,75 -0,73

§ 4. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Наибольшее распространение при идентификации динамических систем станков как объекта типа черный ящик , получили методы экспериментального определения их частотных характеристик. Речь идет об определении, в первую очередь, характеристик W.y.c (/ ) упругой системы по связи с процессом резания. Часто используют метод определения W. у. с (/ ) с помощью возбуждения упругой системы станка гармонически изменяющейся силой, имитирующей силу резания.

Методика, разработанная в ЭНИМСе, предусматривает возбуждение станка с помощью бесконтактного электромагнитного вибратора. Этот вибратор представляет собой электромеханический преобразователь, входами которого являются напряжение переменного тока, подаваемое на обмотку возбуждения, и напряжение постоянного тока, подаваемое на обмотку подмагничивания, а выходом - сила. Вибратор располагают на станке так, чтобы развиваемая им сила совпадала с силой резания (рис. 19.2). При определении частотной характеристики токарного станка оправку / вибратора, выполняющую роль якоря, устанавливают в шпинделе. Сердечник 5 выполнен из трансформаторного железа П-образной формы и установлен под углом 30° к вертикали (что соответствует направлению равнодействующей радиальных сил резания); этот угол можно изменять. На сердечнике размещены обмотки подмагничивания 8, возбуждения 7 и измерительная 6 (переменного тока). Корпус 3 крепят винтами в резцедержателе станка. Для регулирования зазора между якорем и сердечником предусмотрены винты 4.

Наличие обмоток возбуждения и подмагничивания позволяет создать постоянную и переменную составляющие силы вибратора.

Постоянная составляющая создает предварительный натяг в системе и как бы имитирует резание с постоянной глубиной. Амплитуда переменной составляющей силы вибратора (имитация изменения силы резания) оценивается по величине ЭДС, индуцируемой в измерительной обмотке вибратора. Силу можно измерять также тензо-

А-А уШиШв

Рис. 19.2. Электромагнитный бесконтактный вибратор

датчиками 9, наклеенными на корпус 3 вибратора. Датчик 2 относительных колебаний обычно устанавливают при этом так, чтобы измерять колебания по нормали к обрабатываемой поверхности. Упрощенная функциональная схема установки для определения 13. у. с (/ ) показана на рис. 19.3. Если на вход упругой системы станка подается синусоидальное воздействие (переменная

I зг t- АР [- { 9п [--Гш-Ч я<: f-j

VI I ш

Рнс. 19.3. Функциональная схема для определения АФЧХ станка:

ЗГ - задающий генератор напряжения переменного тока; АР - авторегулятор; УМ - усилитель мощности; ИПТ - источник постоянного тока подмагничивания; ЭМВ - электромагнитный вибратор; УС - упругая система станка; ИС и ИП - измерители силы и перемещения; У1 и У2 - усилители; ФВ - фазочув-ствительиый вольтметр; БУ - блок управления; ЗУ - записывающее устройство; ЛМ - ламповый милливольтметр; КО - катодный осциллограф

составляющая силы вибратора) Р sin со/, то установившееся измеренное значение выходного сигнала (относительное перемещение исполнительных звеньев станка)

g (О = I э. у. с (/ ) I Ро sin [со/ + ф (о))].

Частотную характеристику W., (j(o) определяют следующим образом: одновременно измеряют входной и выходной сигналы и