dv dv

dy dy Re L dp

Г дХух дтуу

+ f)-(v-l) 4

r дТ\ d /

дх+ду

dx dy A*

(16.9)

PrRe

W V Ту

J] Re

1 +YMoop = pr.

Ф, (16.10) (16.11)

Обезразмеривание, использованное при выводе уравнений (16.7) -(16.11), аналогично приведенному в п. 11.2.5, за исключением лишь того, что злесъ р =={р - p)/quIo. В уравнениях (16.8) и (16.9) гхх и т. д.- вязкие напряжения; они связаны с градиентами скоростей соотношениями (11.27), форма которых в безразмерном виде сохраняется. В уравнении (16.10) вязкая диссипация Ф определяется соотношением (11.39). Оценка порядков величин различных членов в системе (16.7) - (16.11) проводится аналогично тому, как это было сделано для уравнений (16.1) - (16.3).

Порядок компонент скорости и и v и производных от и, V и р такой же, как и для несжимаемого течения. Порядок Г, дТ/дх, р и др/дх равен 0(1). Если определена температура стенки Tju, то дТ/ду и др/ду порядка 0(L/8). Однако, если стенка адиабатическая, т. е. дТ/ду\у=о = Оу и течение дозвуковое или трансзвуковое, более правильно считать, что средние значения дТ/ду и др/ду поперек слоя порядка 0(1) или даже 0{8/L), Следовательно, при выводе укороченных сжимаемых уравнений Навье -Стокса необходимо рассмотреть два случая:

(1) Определена температура стенки или течение сверхзвуковое

(2) Адиабатическая стенка и

dT ду

порядка О (L/6).

dT dp

течение до- или трансзвуковое уТу Ту РД (l)-

Случай (1) соответствует большим изменениям температуры в расчетной области, связанным с большой разницей температур стенки и набегающего потока или с существенным сжатием, обусловленным большими скоростями (большие числа Маха). Случай (2) соответствует меньшим температурным изменениям в области расчета, обусловленным лишь сжимаемостью. При уменьшении числа Маха в случае отсутствия внешних источников тепла производные от р и Г стремятся к; нулю.

В случае (1) все члены в уравнении (16.7) порядка 0(1) и их необходимо сохранить. В уравнении (16.8) все члены в левой части порядка 0(1). В правой части (16.8) член tv порядка

0(1). Безразмерная вязкость ведет себя примерно как безразмерная температура. Порядок компоненты тензора сдвиговых напряжений Тху = \х {ди/дуdv/dx) равен 0{L/8) и обусловлен членом ди/ду. Следовательно, членом dv/dx, порядок которого 0{8/L), можно пренебречь. Таким образом, в правой части уравнения (16.8) остается лишь член {1/Яе)д{[хди/ду) /ду.

В левой части уравнения (16.9) все члены порядка 0{8/L). В правой части Тух \хди/ду. Отдельные части других членов можно сгруппировать, записав их в виде соответствующих производных от скорости. При умножении на (1/Re) порядок многих членов в правой части уравнения (16.9) оказывается равным 0((6/L)2).

В левой части уравнения (16.10) все члены порядка 0(1). Исключение составляет лишь член vdp/dy, порядок которого равен 0((6/L)2). Однако и его следует сохранить, поскольку в невязкой области он может стать порядка 0(1). В правой части уравнения (16.10) членом d{kdT/dx)/dx/PvRe можно пренебречь. В вязкой диссипации единственным членом порядка 0((6/L)) оказывается \х{ди/ду)/Яе. Таким образом, согласно сказанному, укороченные уравнения Навье -Стокса имеют вид

(р ) + (р.) = 0,

ди dv

+ pv

ду ду

ди ду dv

J д ( ди \

Re ду У} ду )

1 Г 4 д ( dv \ , ji

~ Re [з ду \ ду Ъ

дЧ дхду\

p( + f)-(v- 4

Рг Re ду V ду

( дТ\

ду Re

(16.12) (16.13) (16.14)

(16.15)

В данных уравнениях сохранены все невязкие члены из уравнений (16.7) - (16.11). Уравнения справедливы при больших изменениях температуры в расчетной области.

Во втором случае (адиабатическая стенка в дозвуковом или трансзвуковом потоке) основное отличие заключается в правой части уравнения (16.14). Можно заметить, что vdp/dy в (16.7) мало, если др/ду порядка 0(1). Следовательно, если в Хуу подставить из (16.7), то (16.14) заменится следующим уравнением:

ду дх

(16.16)

Во втором случае члены vdT/dy и vdp/dy в (16.10) малы. Однако их следует сохранить, чтобы в невязкой области получить уравнения Эйлера.

Если пренебречь изменением плотности и зависимостью вязкости от температуры, вид уравнения (16.13) для х-компоненты импульса в случае сжимаемого течения совпадает с уравнением (16.5) для несжимаемого течения. Члены в правой части уравнений (16.14) и (16.16) порядка 0((6/L)2), если предполагается, что 1/Re порядка 0((6/L)). Следовательно, как и для уравнения (16.6), правая часть уравнений (16.14) и (16.16) может быть отброшена. Однако с точностью до 0{{8/ЬУ) уравнения

(16.14) и (16.16) можно привести к виду, эквивалентному (16.6), т. е.

dv , dv , dp /14 dv .- .ч

3a исключением члена, связанного с вязкой диссипацией в уравнении (16.15), все диссипативные члены в уравнениях (16.13),

(16.15) и (16.17) имеют одну и ту же форму. Из рассмотренных выше примеров ясно, что RNS-уравнения отличаются от полных уравнений Навье - Стокса только диссипативными членами.

16,L2, Анализ Фурье качественного поведения решений

Чтобы решение укороченных уравнений Навье -Стокса можно было получить за один проход в направлении х, необходимо, чтобы система уравнений, например (16.4) - (16.6), была неэллиптической по отношению к направлению х. Это может быть определено методами, описанными в п. 2.1.4, для чего необходимо построить систему уравнений первого порядка, эквивалентную системе (16.4)-(16.6).

Однако больше информации о качественном поведении решения можно получить, если разложить зависимые переменные в комплексный ряд Фурье. Такой подход можно проиллюстрировать на упрощенном уравнении энергии

dT , dT . d4 d4 па 4Q\

где и и и -постоянные порядка 0(1), но могут быть и положительными, и отрицательными. Параметры б и е - положительные константы, б, 8< 1. Уравнение (16.18)-стационарное двумерное уравнение переноса (§ 9.5). Из сравнения его с (2.1) и (2.2) следует, что уравнение (16.18) эллиптическое. Типичные граничные условия для этого уравнения приведены на рис. 16.3.