Я = 0.5 и неявной схемой при X = 1.0. Получите решения, аналогичные изображенному на рис. 15.5, но при

(a) JMAX = 41 1) DZ = 0.10, NMAX = 20,

2) da: = 0.20, NMAX = 10,

3) da: = 0.40, NMAX = 5,

(b) = 0.2, NMAX =100 1) JMAX = 21,

2) JMAX = 11,

3) JMAX = 6.

Из результатов (a) определите примерную зависимость скорости сходимости от Ajc. Из результатов (Ь) определите примерную зависимость скорости сходимости от Ау.

15.3. Модифицируйте программу LAMBL для расчета течения в пограничном слое у пластины. Это соответствует р = 0. Следующая замена данных в строках 8-15 соответствует автомодельному (Блазиус) решению, которое используется в качестве начальных данных и точного решения:

DATA ив /0.0000, 0,0931, 0.1876, 0.2806, 0.3720, 0.4606, 0.5453, 0.6244, 0.6967, 0.7611, 0.8167, 0.8633, 0.9011, 0.9306, 0.9529, 0.9691, 0.9880, 0.9959, 0.9988, 0.9997, 0.9999, 1.0000/

DATA YB /0.0000, 0.0094, 0.0375, 0.0840, 0.1479, 0.2276, 0.3206, 0.4234, 0.5318, 0.6410, 0.7466, 0.8443, 0.9310, 1.0047, 1.0648, 1.1116, 1.1716, 1.2001, 1.2115, 1.2153, 1.2165, 1.2167/

DATA YZ /0.0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0, 2.4, 2.6, 2.8, 3.0, 3.4, 3.8, 4.2, 4.6, 5.0, 5.4/

Коэффициент поверхностного трения можно сравнить с точным значением ,ех = 0.664(Кед:)->/2.

15.4. Модифицируйте программу LAMBL, вводя в нее механизм изменения шага направленной по потоку переменной Ал: в соответствии с изменением решения, как это сделано в программе DOROD. При JMAX = 21 сравните необходимое число шагов вниз по потоку для определения решения со сравнимой точностью, с тем же числом в алгоритме с фиксированным шагом при 1 jc 3 и Ajc = 0.10, 0.20.

15.5. В программе LAMBL утах выбирается достаточно большим, заведомо большим толщины пограничного слоя в точке JCmax. Разработайте и реализуйте процедуру, адаптивно увеличивающую i/max в соответствии с увеличением толщины пограничного слоя. Один из путей - потребовать, чтобы выполнялось условие imax > б+, где k - эмпирическая константа.

15.6. Определите главные члены в ошибке аппроксимации ди/ду и ди/ду по формулам (15.17). Для ди/ду определите ограничение на Гу, уменьшающее ошибку аппроксимации до второго порядка. Какое ограничение на Гу позволяет получить второй порядок по формуле

ду (\+Гу)Ау

Рассмотрите возможность разложения в ряд Тейлора в точке, отличной от у/. Каким образом можно повлиять на ошибку аппроксимации конвективных членов и может ли быть получен более высокий порядок аппроксимации всего уравнения на неоднородной сетке?

+ 0.5 Дл: (15.100)

+ 0.25.;+ = 0.5 д,- +

+ 0.5---4-(15.101)

Нелинейные члены в точке линеаризуются относительно л: , т.е.

Покажите, что после подстановки этих выражений в уравнения (15.100) и (15.101) последние могут быть приведены к виду (15.46), (15.48), позволяющему получить связанные решения.

15.9. Используйте (15.49), (15.50) в уравнениях, полученных в задаче 15.8 с добавлением Uedue/dx из (15.15). Получите решение для обтекания клина (р = 0.5) и сравните его с решением, полученным по программе LAMBL.

Метод Дородницына описания пограничного слоя (§ 15 3)

15.10. Получите по программе DOROD решение, соответствующее рис. 15.18, но при RATCH=0.01, DMAX=0.01 в трех случаях: (1) ЛМАХ = 6,

(2) ЛМАХ=11 и (3) ЛМАХ=21. Сравните полученные значения Cf и б* с экспериментальными данными [Coles, Hirst, 1968] (вариант 3300).

15.11. Получите по программе DOROD решение, соответствующее рис. 15.18, в трех случаях: (1) RATCH = 0.01, (2) RATCH = 0.02,

(3) RATCH = 0.05. Выберите DXCH достаточно малой величиной, чтобы можно было наблюдать механизм изменения шага (Ах). Определите влияние параметра RATCH на точность и экономичность численного решения.

15.12. Модифицируйте программу DOROD так, чтобы по ней можно было получить распределение скорости поперек пограничного слоя. Наиболее

15.7. Примените схему ячеек Келлера, описанную в п. 15.1.3, к задаче пограничного слоя около клина (п. 15.1.2).

Сложные течения в пограничном слое (§ 15.2)

15.8. Для обтекания пластины дискретизация Кранка - Николсона уравнений (15.14), (15.15) дает

0.5 + 0.5 --L±L + 0.5 г- +

biy y Ал:

удобно это делается через члены f/+ и м+ (п. 18.1.1), где

1/2 If du

г du

J (1 -w)t(m)

LRe/2 J Re/2 J (\-и)т(и)

15.13. Рассмотрите в общих чертах изменения, которые необходимо сделать для введения в программу DOROD одномерных квадратичных элементов (п. 5.3.2). Точное определение (15.63) возможно, но весьма громоздко. Легко осуществить численное определение на основе квадратур Гаусса [Zienkiewicz, 1977]. Опыт расчетов [Fletcher, Fleet, 1984а, b] показывает, что применение квадратичных элементов более эффективно, чем применение линейных при рассмотрении ламинарных пограничных слоев, и менее эффективно при рассмотрении турбулентных.

15.14. Начальные данные для расчета турбулентного течения у пластины приведены на рис 15.25. Эти значения соответствуют данным Вигхардта и Тилльмана, приведенным в работе [Coles, Hirst, 1968]. Примените программу DOROD для этого случая и сравните полученные значения коэффициента трения Cf и толщины вытеснения б* с данными Коулза и Хёрста (вариант 1400).

300 11 О.бО 0.4125.0021.00 0.168Е-01 2.167Е+06 0.001Е-00 0.001Е-00 О.ЮОЕ-ОО 0.200Е-00 О.187Е-О0 5.000Е+00 0.020Е-00

VIEGHARDT AND TILLNANN: Z.P.G.

.424Е-02 .217Е+07 .726Е-03 .4Э8Е-03 12 3.12439 3.19838 3.27596 3.35807 3.44456 3.51442 3.57650 3.60822 3.60776 3.57723 3.48747 3.39341 3.25916 3.13512 2.93587 2.76024 2.53211 2.32607 2.09397 1.87966 1.66462 1.40086 1.19528 1.02369 .87114 .66700 .54118 .45518 .40517 .38367

.36750 .36443 .36441 .36767 .38060 .43723 .51183 .61285 .90873 1.55564 2.02850

,187 .387 .637 .937 1.237 1.687 2.287 2.887 3.487 4.087 4.687 4.987 1.000 1.000 1.006 1.003 1.006 1.003 1.006 1.006 1.006 1.006 1.009 1.006 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Рис. 15.25. Начальные данные для расчета по программе DOROD течения в турбулентном слое у пластины.

Течения в трехмерных пограничных слоях (§ 15.4)

15.15. Используя (15.85) и (15.86), получите выражения для коэффициентов а/, bi, Cj и dj в уравнении

-/. k + jPjk + jPtl k = где f m или w, (15.102)

которое представляет трехдиагональные системы уравнений, связанные с линией сетки (k, п) на рис. 15.23. Получите коэффициенты а/, dj: (1) для схемы Кранка - Николсона, (2) для схемы зигзаг Краузе.

15.16. Примените схему зигзаг Краузе для расчета ламинарного пограничного слоя на пластине, на которой расположен круговой цилиндр радиуса а с центром в точке jc = jcq и г = 0. Распределение невязкой скорости у цилиндра достаточно точно определяется по теории потенциала (§ 11.3)