Разделы сайта

Читаемое

Обновления Oct-2018

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [ 93 ] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

1]yW

{G} + = {G} + CAq

1х о I,

в результате подстановки этих выражений в (15.94) получается следующая линейная относительно Aq + система уравнений:

[(l+V)A + pA8{ + f }]Д, =

- Л{

df до

5 rj +у[{ЕГ-{ЕГ-]. (15.95)

Если для аппроксимации производных д/дц и d/dt, использовать центральные разности, данная схема может быть факторизована с точностью 0(А2). Решение получается в два этапа. На первом этапе

(I+Y)

[A + A{-(}L,c]Ai-==-

[{Ё} -{Ё} - (15.96)

.и на втором

А + А { j+ } L,b] Aq + = А Aq. (15.97)

На первом этапе (15.96) представляет собой трехдиагональную систему уравнений, связанную с каждой линией сетки Для решения можно использовать алгоритм Томаса (п. 6.2.2). На втором этапе неявно входят лишь члены, связанные с направлением ц. Поскольку производные д/дц в В аппроксимируются трехточечными центральными разностями для Lyyfi\ система (15.97) является трехдиагональной и может быть легко решена.

В работе [Dwyer, 1981] предложено более устойчивое конечно-разностное представление дУ/дц. В работе [Schiff, Steger, 1980] приведены результаты расчетов по схемам, подобным



(15.96), (15.97). Аналогичная схема рассматривается в п. 16.3.1. Практические расчеты трехмерных пограничных слоев сопровождаются большим числом ad hoc (предварительных) процедур, зависящих от рассматриваемой задачи. Конкретная реализация этих процедур при расчете пограничных слоев у стреловидных крыльев описана в работе [McLean, Randall, 1979J.

§ 15.5. Заключение

Уравнения, описывающие течения в пограничных слоях, являются уравнениями преимущественно параболического типа. Поэтому для расчета развития течения вниз по потоку возможно построение неявных маршевых алгоритмов. Маршевые алгоритмы могут иметь первый или второй порядок точности в направлении маршевой переменной и по крайней мере второй в перпендикулярном пограничному слою направлении. Методы, позволяющие получить более высокий (как правило, четвертый) порядок точности поперек пограничного слоя, описаны в работе [Peyret, Taylor, 1983]. Применение итераций на каждом слое вниз по потоку оказывается менее эффективным, чем применение безытерационных методов с меньшим шагом по маршевой переменной.

В пограничных слоях имеют место большие градиенты скорости в направлении, перпендикулярном маршевому. Поэтому имеет смысл использовать неоднородные сетки с геометрически возрастающим от наименьшего значения у стенки шагом (п. 15.1.2). Кроме того, в программах используются преобразования зависимых и независимых переменных, позволяющие уменьшить градиенты рассматриваемых функций и добиться тем самым в преобразованной области более точного дискретного представления. Подобные замены переменных (§ 15.2) полезны также при расчетах сжимаемых и осесимметричных течений.

В преобразовании Дородницына (§ 15.3) зависимая переменная и превращается в независимую. Это позволяет получить решение с хорошей точностью при сравнительно небольшом числе расчетных точек поперек слоя.

Если направление времениподобной маршевой переменной в трехмерном пограничном слое примерно совпадает с направлением течения, то для расчетов могут эффективно использоваться схемы расщепления (§ 8.2). Совпадения направлений легко добиться путем использования обобщенных координат (п. 15.4.2).

На практике результаты расчетов течений в пограничных слоях используются для определения толщины вытеснения, которая применяется для коррекции распределения давления,



рассчитываемого по невязким алгоритмам (п. 14.1.4), и как компонента в алгоритмах вязко-невязкого взаимодействия (п. 16.3.4). Подобные методы позволяют даже получить небольшие отрывные зоны [Carter, 1981].

Большая часть описанных в данной главе методов основана на конечно-разностной дискретизации. Исключение составляет метод Дородницына, который легко позволяет использовать конечно-элементную и спектральную интерполяции. Однако существует программа STAN5, упомянутая в § 15.3, основанная на дискретизации по методу конечного объема [Patankar, Spalding, 1970]. Кроме того, метод конечных элементов применялся для расчета дву- и трехмерных пограничных слоев в исходных переменных [Baker, 1983].

§ 15.6. Задачи

Простые течения в пограничном слое (§ 15.1)

15.1. Двухслойный неявный алгоритм для решения (15.2) может быть записан в виде

/ 1 + vj [Я1, - + (1 - Я) Lyun =

= Л K f + (1 - Я) [ , ,f + V [}Lyyu1+ + (1 - Я) Lyyu}], (15.98)

4 = Яйу+ + (1 -Я)и, vf = Xv}+ + {l-K)v},

Покажите, что на каждом шаге итерации k уравнения (15.98) могут быть-представлены в виде трехдиагональной системы

а/4и + bjU+ + Cju4+\=dj, (15.99)

ау = -Я(у + б), 6у = 5 + 2Яб, c = Я(Y -б), d = - 0.5 (1 - Я) (1) {u1,- ,) + ДхЯ +

+ Дх (1 - Я) [ , ,f + (1 - Я) V (-) [ ; , - +

На каждой итерации значение v получается из (15.8). В начале итерации = и; в конце и = иК

15.2. Модифицируйте программу LAMBL (рис. 15.3), включив в нее вышеприведенную схему, совпадающую со схемой Кранка - Николсона при



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [ 93 ] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2018 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка