1]yW

{G} + = {G} + CAq

1х о I,

в результате подстановки этих выражений в (15.94) получается следующая линейная относительно Aq + система уравнений:

[(l+V)A + pA8{ + f }]Д, =

- Л{

df до

5 rj +у[{ЕГ-{ЕГ-]. (15.95)

Если для аппроксимации производных д/дц и d/dt, использовать центральные разности, данная схема может быть факторизована с точностью 0(А2). Решение получается в два этапа. На первом этапе

(I+Y)

[A + A{-(}L,c]Ai-==-

[{Ё} -{Ё} - (15.96)

.и на втором

А + А { j+ } L,b] Aq + = А Aq. (15.97)

На первом этапе (15.96) представляет собой трехдиагональную систему уравнений, связанную с каждой линией сетки Для решения можно использовать алгоритм Томаса (п. 6.2.2). На втором этапе неявно входят лишь члены, связанные с направлением ц. Поскольку производные д/дц в В аппроксимируются трехточечными центральными разностями для Lyyfi\ система (15.97) является трехдиагональной и может быть легко решена.

В работе [Dwyer, 1981] предложено более устойчивое конечно-разностное представление дУ/дц. В работе [Schiff, Steger, 1980] приведены результаты расчетов по схемам, подобным

(15.96), (15.97). Аналогичная схема рассматривается в п. 16.3.1. Практические расчеты трехмерных пограничных слоев сопровождаются большим числом ad hoc (предварительных) процедур, зависящих от рассматриваемой задачи. Конкретная реализация этих процедур при расчете пограничных слоев у стреловидных крыльев описана в работе [McLean, Randall, 1979J.

§ 15.5. Заключение

Уравнения, описывающие течения в пограничных слоях, являются уравнениями преимущественно параболического типа. Поэтому для расчета развития течения вниз по потоку возможно построение неявных маршевых алгоритмов. Маршевые алгоритмы могут иметь первый или второй порядок точности в направлении маршевой переменной и по крайней мере второй в перпендикулярном пограничному слою направлении. Методы, позволяющие получить более высокий (как правило, четвертый) порядок точности поперек пограничного слоя, описаны в работе [Peyret, Taylor, 1983]. Применение итераций на каждом слое вниз по потоку оказывается менее эффективным, чем применение безытерационных методов с меньшим шагом по маршевой переменной.

В пограничных слоях имеют место большие градиенты скорости в направлении, перпендикулярном маршевому. Поэтому имеет смысл использовать неоднородные сетки с геометрически возрастающим от наименьшего значения у стенки шагом (п. 15.1.2). Кроме того, в программах используются преобразования зависимых и независимых переменных, позволяющие уменьшить градиенты рассматриваемых функций и добиться тем самым в преобразованной области более точного дискретного представления. Подобные замены переменных (§ 15.2) полезны также при расчетах сжимаемых и осесимметричных течений.

В преобразовании Дородницына (§ 15.3) зависимая переменная и превращается в независимую. Это позволяет получить решение с хорошей точностью при сравнительно небольшом числе расчетных точек поперек слоя.

Если направление времениподобной маршевой переменной в трехмерном пограничном слое примерно совпадает с направлением течения, то для расчетов могут эффективно использоваться схемы расщепления (§ 8.2). Совпадения направлений легко добиться путем использования обобщенных координат (п. 15.4.2).

На практике результаты расчетов течений в пограничных слоях используются для определения толщины вытеснения, которая применяется для коррекции распределения давления,

рассчитываемого по невязким алгоритмам (п. 14.1.4), и как компонента в алгоритмах вязко-невязкого взаимодействия (п. 16.3.4). Подобные методы позволяют даже получить небольшие отрывные зоны [Carter, 1981].

Большая часть описанных в данной главе методов основана на конечно-разностной дискретизации. Исключение составляет метод Дородницына, который легко позволяет использовать конечно-элементную и спектральную интерполяции. Однако существует программа STAN5, упомянутая в § 15.3, основанная на дискретизации по методу конечного объема [Patankar, Spalding, 1970]. Кроме того, метод конечных элементов применялся для расчета дву- и трехмерных пограничных слоев в исходных переменных [Baker, 1983].

§ 15.6. Задачи

Простые течения в пограничном слое (§ 15.1)

15.1. Двухслойный неявный алгоритм для решения (15.2) может быть записан в виде

/ 1 + vj [Я1, - + (1 - Я) Lyun =

= Л K f + (1 - Я) [ , ,f + V [}Lyyu1+ + (1 - Я) Lyyu}], (15.98)

4 = Яйу+ + (1 -Я)и, vf = Xv}+ + {l-K)v},

Покажите, что на каждом шаге итерации k уравнения (15.98) могут быть-представлены в виде трехдиагональной системы

а/4и + bjU+ + Cju4+\=dj, (15.99)

ау = -Я(у + б), 6у = 5 + 2Яб, c = Я(Y -б), d = - 0.5 (1 - Я) (1) {u1,- ,) + ДхЯ +

+ Дх (1 - Я) [ , ,f + (1 - Я) V (-) [ ; , - +

На каждой итерации значение v получается из (15.8). В начале итерации = и; в конце и = иК

15.2. Модифицируйте программу LAMBL (рис. 15.3), включив в нее вышеприведенную схему, совпадающую со схемой Кранка - Николсона при