15,4,2. Обобщенные координаты

Из-за быстрого изменения скорости вблизи твердой поверхности и для учета эффектов сжимаемости удобно ввести преобразование координат. В работе [Blottner, 1975а] рассмотрены преобразования типа Леви - Лиза, а в работе [Dwyer, 1981] рассмотрено модифицированное преобразование Блазиуса, применимое и для нестационарных течений в пограничных слоях.

Однако, прежде чем вводить эти специальные преобразования, необходимо записать уравнения в связанной с телом системе координат. Здесь на поверхности тела (рис. 15.24) будут введены обобщенные неортогональные координаты (гл. 12), так что I будет направлено примерно по потоку, g -поперек течения, а г] - по нормали к поверхности.

Уравнения (15.84) - (15.86) могут быть записаны в консервативном векторном виде

+ + = (15.89).

менение трехмерной схемы Кранка - Николсона ограничено областями, где w не изменяет знака.

Это ограничение можно преодолеть, если использовать схему зигзаг Краузе [Krause, 1973]. В этой схеме центральная дискретизация осуществляется в точке {k, д+1/2). Однако-производные по z аппроксимируются на шаблоне зигзаг (рис. 15.23), например

--L±±. (15.88>

При прохождении по г в направлении увеличения k в (15.88) неизвестен лишь член wK Следовательно, он включается

в трехдиагональную систему, формируемую на узлах / вдоль линий сетки (ky п+1). Если w больше нуля, ограничений на Ах нет. Если w становится отрицательной, то для устойчивости Ах должно удовлетворять условию \wAx/uAz\l.

Схемы Кранка -Николсона и зигзаг Краузе можно считать полунеявными, поскольку они явные в направлении, перпендикулярном потоку. Ограничения КФЛ на Ах можно избежать если использовать полностью неявную схему (п. 15.4.3), т. е.. неявную по у и г.

Рис. 15.24. Обобщенные координаты, связанные с поверхностью.

ди Xyz dw

P dy

В координатах (I, л. О уравнение (15.89) принимает вид

(15.90)

G = /

F = /

Pe P J

(15.91)

В выражениях для £ и т. д. контравариантные компоненты скорости t/<, и W направлены соответственно в сторону Звеличения I, г\ и 1 а связаны с физическими компонентами и, V и W соотношениями

(15.92)

Параметры преобразования, подобные х, могут быть определены непосредственно через координаты сетки (п. 12.2.1). Члены типа 1х определяются из соотношений

(15.93)

Рассматриваемые обобщенные координаты аналогичны рассмотренным в гл. 12, за исключением того что линии т) предполагаются перпендикулярными поверхности (х, г). Это упрощает вид уравнений (15.91) -(15.93).

15А,3, Неявная маршевая схема расшепления

Эффективный маршевый алгоритм может быть построен, если записать уравнение (15.90) в виде

(I + Y) [{Е} - {Е} ] - Y [{ЕГ - {Е} -] =

= A[pRHS + (l-p)RHS ], (15.94)

Это существенно трехслойная схема, рассмотренная в п. 8.2.3 и 9.5.1. При 7 = 0, р = 0.5 получается схема Кранка -Николсона; при 7 = 0.5, р=1 -схема 3LFI (трехслойная чисто неявная схема). Для задач, в которых требуется лишь один проход в направлении , что соответствует рассматриваемой ситуации, необходимость хранения дополнительных данных в значительной степени компенсируется большей работоспособностью схемы 3LFI. Для эффективного применения алгоритма (15.94) направление I должно примерно совпадать с направлением потока.

Для применения любой схемы на неявном слое п -f 1 необходимо построить линейную систему уравнений. Здесь это делается путем отбрасывания ряда членов в разложении в ряд Тейлора к окрестности слоя п. Таким образом.

{еГ = {еГ + алч

а = =

1,и + 2l,w J

{Fr+ = {F} + BAq