Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [ 78 ] 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

дх ду

ди . ди dUe , ди /1 с о\

где известное распределение скорости Ue{x) на внешней границе пограничного слоя (рис. 15.1) получается из уравнения Бернулли (11.49). Поскольку система уравнений (15.1), (15.2) относится к смешанному параболическо-гиперболическому типу с переменной jc, играющей роль времени, необходимо задать начальные условия

и{хо, y) = Uo{y) (15.3)

и граничные условия

и{х, 0) = 0, v{x, 0) = 0, и{х, 6) = Ue{x). (15.4)

Уравнение импульса (15.2) можно сопоставить с уравнением одномерной диффузии, рассмотренным в гл. 7, и с одномерным уравнением переноса из § 9.4. Основные отличия заключаются в нелинейности конвективных членов и в связи с уравнением

скостях (п. 2.2.1). Область влияния в явных маршевых алго ритмах определяет возможную величину шага (§ 15.4).

Для расчета турбулентных пограничных слоев используются те же численные методы, что и для ламинарных. Однако увеличение градиента нормальной составляющей скорости вблизи поверхности может привести к необходимости введения более сильного сгущения сетки в направлении нормали. Эта проблема может быть решена применением метода Дородницына (§ 15.3),. в котором компонента скорости и, направленная по потоку, рассматривается как независимая переменная. Другой путь избежать сильного сгущения сетки вблизи стенки состоит в введении пристенных функций, которые позволяют локально получить аналитический профиль скорости вблизи стенки. Пристен ные функции рассматриваются в п. 18.1.1.

Пренебрежение диффузией в направлении потока и отбрасывание уравнения нормальной составляющей импульса может быть также использовано при расчетах струй, течений в следе и трубах. Подобные течения с тонкими сдвиговыми слоями могут быть весьма эффективно рассчитаны при помощи методов, применяемых для расчетов течений в пограничном слое.

§ 15.1. Простые течения в пограничном слое

Уравнения, описывающие ламинарный несжимаемый двумерный пограничный слой, могут быть представлены в виде

+ 4 = 0, (15.1)



неразрывности через нормальную компоненту скорости v. Поскольку Uedue/dx известно, то этот член действует как источник и мало влияет на выбор численного метода.

Все схемы, описанные в § 7.2 или 9.4, в принципе пригодны для численного решения уравнения (15.2). Явные схемы (§ 7.1) исключаются, поскольку их применение привело бы к неприемлемому ограничению на размер шага Ах по маршевой переменной, следующему из условия устойчивости.

Схема Кранка - Николсона (п. 7.2.2) и полностью неявная трехслойная схема (п. 7.2.3) являются безусловно устойчивыми схемами второго порядка точности (по и Ах) для уравнения диффузии. Чтобы получить второй порядок точности по Ах при решении (15.2), необходимо аппроксимировать нелинейные члены иди/дх и vdu/dy со вторым порядком точности. Для схемы Кранка-Николсона это приводит к необходимости введения итераций для расчета всех точек, расположенных вниз по потоку. Для полностью неявной трехслойной схемы (п. 15.1.1) удается избежать итераций путем использования значений и и V в точках, расположенных вверх по потоку (см. (15.6)).

15.1.1. Неявная схема

Для разработки численного алгоритма конечно-разностные выражения, аппроксимирующие различные члены в (15.1) и (15.2), на равномерной сетке вводятся следующим образом:

- -:г°- +о(д.).

== + 0(АЛ (.5.5,

Назначение индексов в этих выражениях иллюстрируется на рис. 15.1. Верхние и нижние индексы введены таким образом, чтобы подчеркнуть роль координаты х, подобную времени t.

Для получения линейной относительно u+i системы уравнений недифференцируемые компоненты скорости и и Vy входящие в левую часть (15.2), экстраполируются следующим образом:

un-i=2u} - и- + О {Ах), =2у - у- + 0{Ах). (15.6)

Подставив эти выражения в (15.2) и сделав необходимые преобразования, можно получить трехдиагональную систему



уравнений, связывающую значения функций на слое я + 1 поперек пограничного слоя:

(15.7)

/о и и 1\ А

= 1.5(2 ;- -) + 2v

Уравнение (15.7) неприменимо при /=1 (у = 0) или / =

= JMAX(y = утах); Uj max = Ue ПрИ /=JMAX- 1, СЛСДОВа-

тельно, dj в (15.7) следует заменить на d. - с.и\ а затем ПОЛОЖИТЬ Cj равным нулю; ui=0 при / = 2. Наиболее эффективно система (15.7) может быть решена при помощи алгоритма Томаса (п. 6.2.2).

После нахождения значения могут быть получены из уравнения (15.1), которое представляется в следующем дискретном виде:

У +1 уп+1 0.5 [(1.5г;?+-2ц; + 0.5г;?-) +

+ {l.5u-t\- 2и- , + 0.5;zl)], (15.8)

где и +1=0. Схема (15.7), (15.8) имеет второй порядок точности по Ал: и Ау, является безусловно устойчивой (по Нейману), работоспособной и эффективной. Однако она должна быть либо дополнена однослойным алгоритмом для начала маршевого расчета вниз по потоку, т. е. при п=1, либо должны быть заданы два слоя (п-1 и п) начальных данных (15.3).

Если для решения уравнения (15.2) использовать схему Кранка - Николсона, значения и- не понадобятся. В этом случае уменьшается требуемый объем памяти и начальные данные должны быть заданы лишь на одном слое. При этом вместо экстраполяции (15.6) используются соотношения и = = 4-О (Ал:) и vj- = v ! + О (Ах), Для получения второго порядка точности по Ах требуется проведение итераций для всех точек, расположенных вниз по потоку. Полученные в результате решения уравнений (15.7) и (15.8) текущие итерации и v+ используются вместо (15.6), после чего снова решаются уравнения (15.7), (15.8). На первом шаге итераций = и и



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [ 78 ] 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка