Разделы сайта
Читаемое
Обновления Mar-2024
|
Промышленность Ижоры --> Динамика жидкости: уравнения дх ду ди . ди dUe , ди /1 с о\ где известное распределение скорости Ue{x) на внешней границе пограничного слоя (рис. 15.1) получается из уравнения Бернулли (11.49). Поскольку система уравнений (15.1), (15.2) относится к смешанному параболическо-гиперболическому типу с переменной jc, играющей роль времени, необходимо задать начальные условия и{хо, y) = Uo{y) (15.3) и граничные условия и{х, 0) = 0, v{x, 0) = 0, и{х, 6) = Ue{x). (15.4) Уравнение импульса (15.2) можно сопоставить с уравнением одномерной диффузии, рассмотренным в гл. 7, и с одномерным уравнением переноса из § 9.4. Основные отличия заключаются в нелинейности конвективных членов и в связи с уравнением скостях (п. 2.2.1). Область влияния в явных маршевых алго ритмах определяет возможную величину шага (§ 15.4). Для расчета турбулентных пограничных слоев используются те же численные методы, что и для ламинарных. Однако увеличение градиента нормальной составляющей скорости вблизи поверхности может привести к необходимости введения более сильного сгущения сетки в направлении нормали. Эта проблема может быть решена применением метода Дородницына (§ 15.3),. в котором компонента скорости и, направленная по потоку, рассматривается как независимая переменная. Другой путь избежать сильного сгущения сетки вблизи стенки состоит в введении пристенных функций, которые позволяют локально получить аналитический профиль скорости вблизи стенки. Пристен ные функции рассматриваются в п. 18.1.1. Пренебрежение диффузией в направлении потока и отбрасывание уравнения нормальной составляющей импульса может быть также использовано при расчетах струй, течений в следе и трубах. Подобные течения с тонкими сдвиговыми слоями могут быть весьма эффективно рассчитаны при помощи методов, применяемых для расчетов течений в пограничном слое. § 15.1. Простые течения в пограничном слое Уравнения, описывающие ламинарный несжимаемый двумерный пограничный слой, могут быть представлены в виде + 4 = 0, (15.1) неразрывности через нормальную компоненту скорости v. Поскольку Uedue/dx известно, то этот член действует как источник и мало влияет на выбор численного метода. Все схемы, описанные в § 7.2 или 9.4, в принципе пригодны для численного решения уравнения (15.2). Явные схемы (§ 7.1) исключаются, поскольку их применение привело бы к неприемлемому ограничению на размер шага Ах по маршевой переменной, следующему из условия устойчивости. Схема Кранка - Николсона (п. 7.2.2) и полностью неявная трехслойная схема (п. 7.2.3) являются безусловно устойчивыми схемами второго порядка точности (по и Ах) для уравнения диффузии. Чтобы получить второй порядок точности по Ах при решении (15.2), необходимо аппроксимировать нелинейные члены иди/дх и vdu/dy со вторым порядком точности. Для схемы Кранка-Николсона это приводит к необходимости введения итераций для расчета всех точек, расположенных вниз по потоку. Для полностью неявной трехслойной схемы (п. 15.1.1) удается избежать итераций путем использования значений и и V в точках, расположенных вверх по потоку (см. (15.6)). 15.1.1. Неявная схема Для разработки численного алгоритма конечно-разностные выражения, аппроксимирующие различные члены в (15.1) и (15.2), на равномерной сетке вводятся следующим образом: - -:г°- +о(д.). == + 0(АЛ (.5.5, Назначение индексов в этих выражениях иллюстрируется на рис. 15.1. Верхние и нижние индексы введены таким образом, чтобы подчеркнуть роль координаты х, подобную времени t. Для получения линейной относительно u+i системы уравнений недифференцируемые компоненты скорости и и Vy входящие в левую часть (15.2), экстраполируются следующим образом: un-i=2u} - и- + О {Ах), =2у - у- + 0{Ах). (15.6) Подставив эти выражения в (15.2) и сделав необходимые преобразования, можно получить трехдиагональную систему уравнений, связывающую значения функций на слое я + 1 поперек пограничного слоя: (15.7) /о и и 1\ А = 1.5(2 ;- -) + 2v Уравнение (15.7) неприменимо при /=1 (у = 0) или / = = JMAX(y = утах); Uj max = Ue ПрИ /=JMAX- 1, СЛСДОВа- тельно, dj в (15.7) следует заменить на d. - с.и\ а затем ПОЛОЖИТЬ Cj равным нулю; ui=0 при / = 2. Наиболее эффективно система (15.7) может быть решена при помощи алгоритма Томаса (п. 6.2.2). После нахождения значения могут быть получены из уравнения (15.1), которое представляется в следующем дискретном виде: У +1 уп+1 0.5 [(1.5г;?+-2ц; + 0.5г;?-) + + {l.5u-t\- 2и- , + 0.5;zl)], (15.8) где и +1=0. Схема (15.7), (15.8) имеет второй порядок точности по Ал: и Ау, является безусловно устойчивой (по Нейману), работоспособной и эффективной. Однако она должна быть либо дополнена однослойным алгоритмом для начала маршевого расчета вниз по потоку, т. е. при п=1, либо должны быть заданы два слоя (п-1 и п) начальных данных (15.3). Если для решения уравнения (15.2) использовать схему Кранка - Николсона, значения и- не понадобятся. В этом случае уменьшается требуемый объем памяти и начальные данные должны быть заданы лишь на одном слое. При этом вместо экстраполяции (15.6) используются соотношения и = = 4-О (Ал:) и vj- = v ! + О (Ах), Для получения второго порядка точности по Ах требуется проведение итераций для всех точек, расположенных вниз по потоку. Полученные в результате решения уравнений (15.7) и (15.8) текущие итерации и v+ используются вместо (15.6), после чего снова решаются уравнения (15.7), (15.8). На первом шаге итераций = и и
|
© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка |