Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [ 76 ] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

В работе [Goorjian, 1985] описаны эффективные неявные методы приближенной факторизации для решения таких уравнений.

§ 14.4. Заключение

Из построения различных численных методов для рассматриваемого класса течений следует, что уравнения, описывающие некоторые классы течений, приводятся к сравнительно простому виду и для их решения возможно построение весьма эффективных численных алгоритмов. Так, например, расчет (несжимаемых) потенциальных течений может быть осуществлен панельным методом (§ 14.1).

Основная трудность при рассмотрении сверхзвуковых невязких течений связана с расчетом ударных волн. Поскольку положение скачка неизвестно, методы сквозного счета, основанные на консервативных разностных схемах, более предпочтительны, чем методы с выделением скачка. При расчете очень сильных ударных волн необходимо введение специальных процедур (п. 14.2.6 и 14.2.7). При расчете сверхзвуковых невязких течений с сильными скачками необходимо использовать полную систему уравнений Эйлера.

Напротив, для многих трансзвуковых течений характерно наличие лишь слабых скачков и для их расчета достаточно использовать полное уравнение потенциала в форме (14.137) и (14.129). При переходе от дозвуковой области течения к сверхзвуковой меняется тип уравнений. Для учета этого обстоятельства в вычислительный алгоритм необходимо ввести определенные поправки, учитывающие смену характера уравнений и обеспечивающие достаточную диссипацию в сверхзвуковой зоне. Сравнительная экономичность метода потенциала делает особенно эффективным его применение для расчета нестационарных трехмерных течений в областях сложной формы.

При расчете стационарных трансзвуковых течений методом потенциала для ускорения сходимости возможно применение весьма эффективных, например многосеточных, методов; подобные методы эффективны также при решении уравнений Эйлера. Разработка методов ускорения расчетов, основанных на нестационарных уравнениях Эйлера, остается весьма важной областью исследований. Большая достоверность расчетов, основанных на уравнениях Эйлера, делает их более предпочтительными при рассмотрении двумерных невязких трансзвуковых течений.

Наиболее распространенными для расчета как сверхзвуковых, так и трансзвуковых течений являются конечно-разностные



методы и методы конечного объема. Однако с определенным успехом для расчета внешних и внутренних трансзвуковых течений применялся и метод конечных элементов (например, [Deconinck, Hirsch, 1985; Ecer, Akay, 1985; Jameson, Baker, 1986]). Для течений с сильными скачками на основе метода характеристик с конечными элементами [Morton, Sweby, 1987; Fletchet, Morton, 1986; Hughes, Mallet, 1985] возможно построение алгоритмов TVD. Спектральные методы [Hussaini, Zang, 1987] эффективны при выделении скачка.

§ 14.5. Задачи

Панельный метод (§ 14.1)

14.1. (а) Рассчитайте по программе PANEL (рис. 14.7) распределение давления у кругового цилиндра при Моо = О, используя 4, 8, 16 и 32 панели. Сравните полученные результаты с точным распределением давления.

(b) Повторите п. (а) для эллипса с отношениями длин полуосей, равными 0.5 и 0.2.

(c) Как объяснить повышение точности при увеличении числа панелей и уменьшении отношения длин полуосей?

14.2. Используйте программу PANEL для расчета течения у профиля NACA-0012, расположенного под нулевым углом атаки. Координаты профиля NACA-0012 определяются уравнением (13.70).

(a) Получите решение с 8, 16 и 32 панелями при Моо = 0.4, сравните полученное решение с решением, представленным на рис. 14.4.

(b) Для 16 панелей при Моо = 0.4 получите решение с большим числом панелей в области носка и хвоста и меньшим в средней части профиля. Определите, какое распределение при заданном числе панелей является наилучшим для достижения наиболее высокой точности. Как это оптимальное распределение связано с градиентами решения?

(c) Повторите пункт (Ь) для профилей NACA-0006 и NACA-0018 и определите, влияет ли большая кривизна носка более тонких профилей на оптимальное распределение элементов. Используйте решение с 32 панелями в качестве точного решения.

14.3. Замените прямой метод (подпрограммы FACT и SOLVE) на итерационный SOR (§ 6.3) и получите решения с 8, 16 и 32 панелями, представляющими окружность. Считайте, что итерации SOR сошлись, если среднеквадратичное отклонение разностей алгебраического уравнения станет меньше 1 X 10-5. Выведите из полученных результатов соотношение NITER = kN, где NITER -число итераций, необходимых для сходимости, а iV -число панелей.

14.4. Определите приблизительно число операций (только умножений и делений) в программе PANEL и в используемых этой программой подпрограммах как функцию числа панелей N.

(a) Сравните это число операций с тем же числом таких операций, но при использовании процедуры SOR вместо прямого решения (подпрограммы FACT и SOLVE) системы (14.6) для определения с,.

(b) Сравните число операций для панелей с соответствующим числом операций в программе LAGEN (п. 12.4.1), используемой для расчета течения около цилиндра. Предположите, что в расчетной области программы LAGEN имеется NXN внешних по отношению к половине цилиндра точек.



14.5. Используя метод, описанный в п. 14.1.4, модифицируйте программу PANEL так, чтобы по ней можно было рассчитывать обтекание профилей с подъемной силой. В качестве теста модифицированной программы получите решение для профиля NACA-0012 при Моо = О и при углах атаки а = О, 2 и 4°.

Введите для определения коэффициента подъемной силы в программу PANEL интегрирование распределения давления. Сравните полученные данные с теоретическим значением Cl = 2яа. Определите примерное число и распределение панелей, необходимые для получения достаточно точного решения.

Сверхзвуковые невязкие течения (§ 14.2)

14.6. Решите по программе SHOCK по схеме Мак-Кормака задачу о движущейся ударной волне с отношением давлений 2.5. Сравните полученные результаты при NX = 101 с расчетами по схеме Лакса - Вендроффа (рис. 14.18).

14.7. Согласно одной из схем с искусственной вязкостью [Lapidus, 1967], уравнение (14.54) заменяется уравнением

яГ = qr + v(-l) А [ I А.;;, I Aqt;,]. (14.168)

Используйте данную форму искусственной вязкости для расчета распространения умеренного (pi/p2 = 2.5) и сильного (pi/p2 = Ю) скачков. Сравните решения с решениями, приведенными на рис. 14.18 и 14.25 в случаях:

(1) Уравнение (14.168) используется при расчете всех компонентов вектора q.

(2) Уравнение (14.168) используется при расчете второй и третьей компонент вектора q.

14.8. Модифицируйте программу SHOCK для расчета течений в ударной трубе до момента, пока не произойдет отражение от ее концов.

В начальный момент времени в трубе содержится газ высокого давления, отделенный диафрагмой от газа низкого давления. В момент = О диафрагма разрывается и образуется ударная волна, быстро распространяющаяся в область низкого давления.

За ударной волной образуется контактный разрыв, начальное положение которого совпадает с положением диафрагмы. При переходе через контактный разрыв давление и скорость непрерывны, а плотность претерпевает разрыв.

За к-онтактным разрывом образуется распространяющаяся в область высокого давления волна разрежения. Плотность, давление и скорость внутри волны разрежения изменяются непрерывно от значений покоящегося газа высокого давления. Передний фронт волны разрежения движется в область высокого давления. Физические процессы, происходящие в ударной трубе, описаны Липманом и Рошко [Liepmann, Roshko, 1957]. Данная задача использовалась в работе [Sod, 1978] для сравнения различных численных схем.

Течение в ударной трубе, которое с хорошей точностью можно считать одномерным, описывается безразмерными уравнениями (14.43), (14.44). Получите решение при следующих начальных условиях:

; = 0, pf = 8.0, р = -=10 при jc< 0.305, Р2 (14.169)

м = 0, Р2=1.0, Р2 = 1.0 при а; > 0.305,



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [ 76 ] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка