Другой подход реализуется в схеме приближенной факторизации [Ballhaus et al., 1978]. По этой схеме N в (14.149) расщепляется на два легко обращаемых множителя. В применении к (14.150) это эквивалентно использованию схемы приближенной факторизации (8.23), (8.24). Факторизации подвергается система (14.149), в которой Rju является остатком уравнения-(14.147) после подстановки в него (14.148). В результате получается

{а - Ц (р*Л,) Li } {а - U (р*2) Ari = (o/?/. (14.155)

h ff --д- . fl --д-

Lt (рМО LJfj = {(pM,),,/, - (pMO, ,/, -iL }/Ag.

Уравнение (14.155) решается в два этапа:

1-й этап: {а -(pMi)Lr}A/.ife = a(o/?/.b (14.156)

2-й этап: {а-Щр*А2) Ц) Ai>f, k = Аф*. (14.157)

На 1-м этапе уравнение (14.156) представляет тpexдиaгoaль-ную систему уравнений, которую можно решить по очереди вдоль каждой линии сетки в направлении при помощи (6.29) - (6.31). На 2-м этапе уравнение (14.157) дает трехдиагональ-ную систему, которую можно решить вдоль каждой линии сетки в направлении ti последовательно.

Уравнения (14.156) и (14.157) образуют алгоритм AF1 [Ballhaus et al., 1978], который аналогичен по форме алго--ритму ADI и схемам приближенной факторизации для зависящих от времени задач, описанных в § 8.2. Однако более эффективное решение уравнения (14.155) осуществляется как следующий двухэтапный алгоритм (AF2):

1-й этап: {a-U (рМ2)}А*. = а(о/?/,ь (14.158)

2-й этап: {аЦ ЩрА,)} фtk =Аф]л (14.159)

На первом этапе получается двухдиагональная система, которая при решении проходится в отрицательном направлении ц] на втором этапе -трехдиагональные системы в направлении которые решаются постепенно в положительном направлении г]., В работе [Hoist, 1985] обсуждается вопрос практической pea- лизации алгоритмов AF1 и AF2.

Параметры а и со выбираются так, чтобы ускорить скорость сходимости; из условия устойчивости следует, что со должно

лежать в диапазоне О < (о 2 и обычно выбирается как можно большим (со = 1.8-f-1.9). Параметр а можно интерпретировать как 1/ЛЛ Следовательно, в принципе стационарное состояние будет достигнуто за наименьшее число итераций, если а выбрать как можно меньшим. Однако при малых а быстро устраняются отклонения низкой частоты, но не высокой. Поэтому лучше использовать последовательность величин а, например

о.т = ща~\ где ai = Ay и a = {2/Ayf-\

где - число шагов в последовательности, обычно N=11. Описание различных схем приближенной факторизации и анализ оптимального выбора а и со можно найти в работе [Cathe-rall, 1982].

Описанные схемы можно сделать еще более эффективными, если применить их в процедуре многосеточных итераций (п. 6.3.5).

Уравнение (14.147) после подстановки (14.148) может быть записано в виде

АМфм = о (14.160)

где индекс М означает, как и в п. 6.3.5, самую мелкую сетку, на которой ищется решение. Для любого промежуточного решения на более грубой сетке А + + = R + т. е. существует ненулевой остаток. В работе [Jameson, 1979] использован модифицированный алгоритм FAS (п. 6.3.5), в котором от более мелкой сетки к более грубой ограничиваются лишь остатки. Уравнение (6.90) заменяется следующим:

Аф = Аф (14.161)

где ф - существующее на т-й сетке решение. Как и в алгоритме FAS, ф получается путем релаксации и последующего ограничения на самую грубую сетку; точное решение, релаксация и продолжение назад на т-ю сетку осуществляются, как показано на рис. 6.21(b). Новое решение на (т-f-1)-сетке задается соотношением

Операторы сужения и продолжения / в (14.161), (14.162) описаны в п. 6.3.5.

Джеймсон использовал модифицированный вариант приближенно факторизованной схемы (14.156), (14.157) в алгоритме релаксации, заменив Rjk в (14.156) правой частью уравнения (14.161). В схеме Джеймсона параметр а в (14.156), (14.157) заменяется на S:

5 = Оо + aii -f azL;, (14.163)

где Ц и L-n - операторы с разностями против потока, определенные после формулы (14.155). Такая модификация сделана для более эффективного расчета сверхзвуковой подобласти.

Полный V-цикл (рис. 6.21(b)) включает в себя одну релаксацию по формулам (14.156), (14.157) и (14.163) и сужение

Верхняя поверхность

Нижняя поверхность

Рис. 14.32. Распределение давления по поверхности профиля NACA-0012 при а = 2°, Моо = 0.75, сетка 192X32.

остатков на следующую более грубую сетку до тех пор, пока не будет достигнута самая грубая сетка, на которой определяется точное решение. После этого продолжение (14.162) и один шаг релаксации проводятся на каждой сетке, пока не будет достигнута вторая по мелкости сетка. Решение на самой мелкой сетке получается после этого из (14.162), V-цикл повторяется до тех пор, пока не будет выполняться уравнение (14.160).