первого порядка позволяют построить следующий алгоритм для расчета изменения q в центре контрольного объема (рис. 14.27):

Aq/+i/2. k+\i2 = - 0.5-д [(F/+1, k + k+\) - (F/, k + F/, k+i)]

- 0.5 [(G/. + Gy+i. ,+i) - (Gy., + G/+1. k)l (14.117)

Выражения, эквивалентные (14.117), могут быть записаны для четырех контрольных объемов, окружающих точку сетки ij,k).

-1 -1

j-Vz.----й-----.-J+/2

f== r==/

ЛЧ,Л+/г

J>1

Рис. 14.27. Соответствие между контрольным объемом и точками сетки.

При приближении к стационарному состоянию правая и левая части (14.117) стремятся к нулю. Поэтому величина Aq/+i/2,fe+i/2 пропорциональна стационарной разности, связанной с контрольным объемом (/-f 1/2, k+l/2). Это соответствие будет использовано ниже при построении многосеточного алгоритма.

Величина коррекции в узле 6q/, k может быть получена как среднее величин Aq четырех окружающих контрольных объемов. Желательно, однако, ввести дискретизацию по времени также второго порядка. Это можно сделать при помощи одношаговой схемы Лакса - Вендроффа (10.10). Дискретизация по времени системы (14.116) в точке {j,k) принимает вид

6q , = - А/ (F, + G,)y + 0.5 At {[А (F, + G,)], +

-f [B(F,-f G,)U/, (14.118)

где А И В -матрицы Якоби d¥/dq и 5G/5q; Тх = д¥/дх и т. д. Первый член в правой части может быть получен в результате осреднения по окружающим контрольным объемам. Согласно (14.117),

-А/ (F;, + G,)/, k = 0.25 (Aq/-1/2. k-m + Aq/-i/2. +

+ Aq/+i/2, k+i/2 + Aq/+i/2. fe-1/2). (14.119) Используя (14.116), можно получить

A (F, + G,) = - Aq В (F, + G,) = - Bq,. Отсюда, если ввести q = Aq/A, получим

At [A (F, +. G)], - (A Aq), - (AF) А/ [B (F, + G,)], - - (B Aq), - - (AG)

(14.120)

где AF и AG означают изменения F и G за один шаг по времени, соответствующие изменению Aq.

Члены (AF);c, (AG)i/ в точке (/, ) определяются по методу конечного объема на контрольном объеме, ограниченном (/-1/2 k-l/2), (/+1/2, А-1/2), (/+1/2, k+l/2) и (/-1/2, k + + 1/2), как показано на рис. 14.27. В результате получается выражение

A(F);, [0.5(AF/+i/2,fe+i/2 +AF/+,/2. ki/2) -

- 0.5(AF/-i/2. k+\/2 + AF/ i/2..-i/2)]~ (14.121)

и аналогично для (AG)у.

Подстановка (14.119) -(14.121) в (14.118) позволяет построить следующий алгоритм расчета изменения qi\k:

6q, = 0.25(rAq + -AF + -AGl +

+ Aq + AF + -AG

+ + t

M Ajc

AF +

At/ А/ At/

J/-I/2. k + \l2

J/+1/2, fe+1/2

+ [Aq +

AF + -AG At/

J/ + I/2. k-U2

}. (14.122)

Очевидно, (14.122) можно трактовать как определение изменения q/, k путем осреднения изменений в прилежащих контрольных объемах. В работе [Ni, 1982] рассматриваются отдельные вклады в (14.122) как формулы распределения, поскольку путем перемещения контрольного объема можно получить его влияние на четыре окружающие его точки.

Основной алгоритм состоит из уравнения (14.117), определяющего изменение в контрольном объеме, и уравнения (14.122), определяющего изменение в точке сетки. Алгоритм имеет второй порядок точности по времени и пространству. Для устойчивости должно выполняться следующее ограничение на шаг по времени:

(\u\-\-a) (\v\ + a)

At min

(14.123)

Можно заметить, что зависимые переменные определяются в вершинах контрольного объема, а не в его центре, как это делается в § 5.2 и п. 17.2.3. Возможна также дискретизация (14.116) по методу конечного объема с определением зависимых переменных в центрах контрольных объемов [Jameson et al., 1981].

Однако расположение вершин контрольного объема в узлах сетки имеет свое преимущество [Morton, Paisley, 1986]. Во-первых, при использовании неоднородных сеток точность, как правило, выше при расположении вершин в узлах сетки. Расположение узлов сетки в центре объема часто приводит к появлению осцилляции в решении (п. 17.2.3). Если не используются разнесенные сетки, обычно для подавления осцилляции приходится вводить дополнительные диссипативные члены [Jameson et al., 1981]. Расположение точек в вершинах гораздо менее чувствительно к появлению осцилляции, хотя при наличии скачков также рекомендуется введение дополнительных диссипативных членов [Ni, 1982].

Возможно, что наибольшее преимущество связано с граничными условиями, которые могут быть поставлены непосредственно при расположении узлов сетки в вершинах, поскольку в этом случае точки сетки совпадают с границей. При расположении узлов сетки в центре контрольного объема узлы с границей не совпадают (п. 17.1.3).

Для ускорения сходимости к стационарному состоянию желательно на достаточно мелких сетках, обеспечивающих необходимую точность, использовать большие, чем допускаемые условием (14.123), шаги по времени. Многосеточный подход позволяет осуществить это путем применения (14.122) на последовательности более грубых сеток с увеличенным в соответствии с условием (14.123) значением Атах. При этом ненужные неустановившиеся возмущения быстро проходят через расчетную область и выходят за ее пределы через удаленные границы. Внутри области остается сходящееся стационарное решение. В отличие от многосеточного алгоритма, описанного в п. 6.3.5, для нахождения стационарных решений уравнений Эйлера ис-