Уравнение (14.104) является приближенно факторизованной формой уравнения (14.103), решение которого осуществляется по следующему двухшаговому алгоритму. На первом шаге

I + la] ч = -т + L,G } + Aq (14.105)

и на втором шаге

1+Y 1+Y

I + ТТТ .В] ДЯ = Aq. (14.106)

Уравнение (14.105), записанное на каждой х-линии сетки, образует (4Х 4)-блочно-трехдиагональную систему уравнений. Блочно-трехдиагональные системы весьма эффективно решаются обобщенным алгоритмом Томаса (п. 6.2.5). Тот же алгоритм применим и к уравнениям (14.106), которые при записи на каждой у-линии сетки также образуют (4Х 4)-блочно-трехдиаго-нальную систему.

Факторизацию матриц А и В можно провести следующим образом:

А = ТлЛлТл\ В = ТвАбТ¥\ (14.107)

где диагональные матрицы Ал и Ав образованы собственными числами А и В, т. е.

diagЛд = {и, и, и + а, и - а}, diag{v, v, v + а, v - а}.

(14.108)

Здесь а -локальная скорость звука. В работе [Pulliam, Chaus-see, 1981] показано, что при помощи факторизованных представлений (14.107) можно одну (4 X 4)-блочно-трехдиагональ-ную систему расщепить на четыре скалярные трехдиагональные системы, которые могут решаться последовательно. Это приводит к сокращению времени счета примерно на 30 7о. Однако данная процедура вносит ошибку О (At) в нестационарные решения.

Уравнения (14.105) и (14.106) применимы как к стационарным, так и к нестационарным задачам. Для нестационарных задач при 7 = 0, р = 0.5 получается схема Кранка - Николсона с порядком точности O(Afi). Если (14.105), (14.106) используются в методе установления для решения стационарных задач, весьма эффективными являются следующие варианты выбора параметров:

(1) Y = 0, р = 1.0, расширенный метод Ньютона, О (А/);

(2) Y = 0.5, р = 1.0, трехслойная полностью неявная схема, 0(А/2),

Может показаться, что расширенный метод Ньютона с большим значением будет оптимальным при проведении расчетов методом установления. Однако введение членов порядка О(At) при приближенной факторизации приводит к потере ожидаемой от метода Ньютона квадратичной скорости сходимости.

Из исследования (линейного) алгоритма (14.105), (14.106) методом Неймана следует его безусловная устойчивость. Однако может возникнуть нелинейная неустойчивость, особенно в связи с сильными скачками. Если пространственные операторы Lx и Ly в (14.105), (14.106) являются центрально-разностными операторами, то обычно добавляется искусственная вязкость. Эта вязкость должна быть добавлена и к правой, и к левой частям уравнения (14.105). Искусственная вязкость может быть второго (как в п. 14.2.3) или четвертого (п. 18.5.1) порядка малости.

Операторы Lx и Ly могут быть также операторами с разностями против потока в сверхзвуковой области. Следовательно, использование соотношений

(14.109)

предполагает, что локальная скорость направлена в положи-* тельных направлениях х и у. Если такое представление рассматривать как дискретизацию второго порядка, то это приводит к появлению диссипативных членов (§ 9.1). Пример использования такой дискретизации для решения задачи об одномерной ударной трубе приведен в работе [Steger, Warming, 1981, рис. 1]. Ударные волны и контактные разрывы получились сильно размытыми. Можно построить схему второго порядка с разностями против потока, которая может быть использована в двухшаго-вом алгоритме (14.105), (14.106) в сверхзвуковых областях. В работе [Pulliam, 1985] приводится описание таких алгоритмов, основанных на схемах Уорминга и Бима [Warming, Beam, 1976]. Эти схемы позволяют получить резкие профили скачков без осцилляции, расположенных вверх по потоку от разрыва (как в схемах Мак-Кормака и Лакса - Вендроффа, п. 14.2.3). Однако комбинация таких схем о центральными разностями в дозвуковых областях требует введения функций переключения (п. 14.3.3) и специальных процедур на разделяющих поверхностях (т. е. на звуковых линиях и ударных волнах).

Постановка граничных условий и их численная реализация при решении уравнений Эйлера является важной частью всего алгоритма. На твердых поверхностях для выполнения закона сохранения массы нормальная составляющая скорости должна быть равна нулю. Давление обычно получается из уравнения

ДЛЯ нормальной составляющей импульса, а плотность -из условия постоянства полной энтальпии Н = {Е р) /р.

Границы, через которые возможно течение жидкости, называются входными и выходными границами (рис. 11.18). Для внутренних течений классификация не представляет труда. Для течений около изолированных тел удаленные границы могут изменяться, превращаясь в процессе эволюции течения из входных в выходные и наоборот.

Теория характеристик позволяет определить число и вид граничных условий. Физически информация переносится вдоль ха-

Входная граница

Выходная граница

М<1 (Ь)

М<1

М>1 М>1

Рис. 14.26. Число граничных условий согласно теории характеристик.

рактеристик. Следовательно, граничные условия должны быть определены на характеристиках, приходящих в расчетную область.

Собственные числа одномерных нестационарных уравнений Эйлера равны Х={и, и-{-а, и - а}. Одномерные до- и сверхзвуковые входные и выходные границы изображены на рис. 14.26.

На дозвуковой входной границе требуется определить граничные условия для двух переменных, а третья переменная должна рассчитываться по значениям на границе и внутри области. На дозвуковой выходной границе две характеристики выходят из расчетной области и одна приходит в расчетную область. Следовательно, на дозвуковой выходной границе должно быть поставлено одно граничное условие.