метода к задаче о взаимодействии двух взрывных ударных волн. Показано, что при использовании однородных сеток метод позволяет очень хорошо разрешить весьма тонкие детали течения. Однако метод примерно в пять раз медленнее метода Мак-Кормака с искусственной вязкостью. Поэтому большой интерес представляют более экономичные схемы, аппроксимирующие лишь некоторые физические характеристики, присущие схеме Годунова [Roe, 1981; Harten, 1983; Yee et al., 1985].

Здесь будут лишь кратко описаны схемы коррекции потоков Бориса и Бука [Boris, Book, 1973], пригодные для расчета сильных скачков, поскольку такие схемы можно рассматривать как обобщение простых схем предиктор - корректор, подобных схеме Мак-Кормака, т. е. будут описаны наиболее экономичные варианты метода коррекции потоков.

Численное представление ступенчатых профилей, связанных с сильными ударными волнами в невязких течениях, весьма затруднительно. Как уже отмечалось в § 9.2, введение разностей против потока приводит к появлению сильной диффузии, сглаживающей ступенчатый профиль. Схема Лакса - Вендроффа приводит к появлению дисперсионных ошибок, которые проявляются в виде ряби на каждой стороне ступеньки. Расчет плотности по такой схеме может привести к появлению отрицательных {физически нереальных) значений.

Борис и Бук разработали метод коррекции потоков как обобщение схемы предиктор - корректор. На шаге предиктор вносится сильная диффузия, а на шаге корректор -ей равная (почти) антидиффузия. Однако антидиффузия ограничена так, что в решении не возникает новых минимумов и максимумов, а имеющиеся экстремумы не усиливаются. Данный ограничивающий шаг очень важен, поскольку он сохраняет положительность решения там, где это необходимо, и позволяет диффузии, введенной на шаге предиктор, уничтожить дисперсионную рябь.

Метод коррекции потоков может быть пояснен на примере применения его к одномерному уравнению неразрывности (11.10):

1Г + (Р ) = 0. (14.72)

Для простоты скорость и будет считаться постоянной, тогда (14.72) совпадает с (9.2). На шаге предиктор для вычисления р* из (14.72) используется следующий конечно-разностный алгоритм:

р- = р- - 0.5С (р- - р;) + (V + 0.5С2) (р;, - 2р- + 910,

(14.73)

где с = uAt/Ax, а v - положительный диффузионный коэффициент. Обычно v= 1/8. Если v=0, получается схема Лакса - Вендроффа (9.16).

В принципе антидиффузия на шаге корректор может быть введена следующим образом:

р 4-1 = р; - (р;, - 2р; + р; ,), (14.74)

где возможен очевидный выбор p, = v. Однако, для того чтобы обеспечить консервативность схемы и в случае переменной скорости, полезно ввести в рассмотрение антидиффузионный поток массы

/;+1/2 = (Pj+i - р;), -1/2 = Pj-1)- (14.75)

Если границы ячеек определены в точках х/-1/2 = 0.5(jc/-.i-f х/) и x/+i/2 = 0.5(л:/-f a:/+i), то f/-.i/2 является антидиффузионным потоком массы через границу х,-1/2\ аналогично для f/+i/2.

Сущность схемы коррекции потоков состоит в замене +1/2 в (14.75) на

f/+i/2 = sign (Ар/+1/2)Х

Хтах{0, niin [Лр/-1/2 sign (ЛР/+1/2), fiAp/+i/2,

Ар/+з/2 sign (ДР/+1/2)]}, (14.76)

где Ap.j2 = P/+i -Р). а sign/С =/С/1

Эквивалентная формула используется и для замены -1/2 в (14.75). Уравнение (14.76) является количественным выражением невозможности образования на стадии введения антидиффузии новых максимумов или минимумов, как это требовалось выше. На конечной стадии выражение (14.74) заменяется на

рГ = Р/- 4-1/2 + -1/2- (14.77)

Схема (14.73), (14.75)-(14.77) устойчива при выполнении условия

C = w(A Ajc)<0.5. (14.78)

Это ограничение на А более сильное, чем в схемах Мак-Кормака и Лакса - Вендроффа. Для уравнений, описывающих одномерные невязкие несжимаемые течения (14.36) - (14.38), в работе [Woodward, Colella, 1984] рекомендуется использовать несколько более сильное условие: (w--a)A Ajc < 0.4, где а - локальная скорость звука.

Влияние выбора p, = v показано на рис. 14.23. Значение Ii = v =0.125 близко к оптимальному, поскольку при этом обеспечивается минимум диффузионной и дисперсионной ошибок. Следует отметить полное отсутствие осцилляции.

Борис И Бук [Boris, Book, 1976] рекомендуют выбирать v в (14.73) и в (14.74) так, чтобы дисперсионные ошибки, возникающие при дискретизации уравнений, были минимальны. Эти значения могут быть получены из рассмотрения ошибок аппроксимации, как это сделано в § 9.2. Конкретные выражения

40 50

60 70

Номер ячейки

90 100 40 50

60 70 80

Номер ячейки

90 wo

9 \ г-

40 50

60 70 80

Номер ячейки

...... * I I I I i I I

AO 50

11111ii111 m i Ii

60 70 80

Номер ячейки

A.E.=aii

11111 iii I m i

90 100

Рис. 14.23. Сравнение схем коррекции потока при ступенчатом распределении плотности; ц = v = DIFF.COEF.,A.E.= абсолютная ошибка, PHEONICAL SHASTA = схема Лакса - Вендроффа для (14.72) ([Book et al., 1975]; печатается с разрешения Academic Press).

зависят от схемы, к которой применяется процедура коррекции потоков. Борис и Бук [Boris, Book, 1976] проанализировали схемы с разностями против потока Лакса - Вендроффа и чехарда и рассмотрели варианты явного и неявного введения антидиффузионных членов. Для схемы (14.73)-(14.77) рекомендуются следующие значения:

(14.79)

1 , С2

р=--