Производные разбиваются на две части, связанные с характеристиками. Уравнения (14.60) и (14.61) принимают вид

i- -0.6 1 + я,) - 1 (Я, - ) , ,14.63)

dt ди dt

dxi дх2 др л др

Если в эти уравнения подставить Xi и Ji2 из (14.62) и положить др/дх\ = др/дх2 и du/dxi = ди/дх2, то снова получатся уравнения (14.60) и (14.61). Однако если для dp/dxi и т. д. использовать односторонние разностные формулы, в которых рассматриваются лишь точки, лежащие по ту же сторону от Xj, что и Я/, значения др/дхг и др/дх2 и т. д. в (14.63) и (14.64) будут различны. При этом конечно-разностное представление 0,5(Xidp/dxi + к2др/дх2) будет корректным дискретным представлением идр/дх при любых значениях Ki и 2.

Уравнения (14.63), (14.64) интегрируются по схеме предиктор - корректор, т. е.

(14.65) (14.66)

;=.;+(f)>.

Г=o.5[f;+f;+ (!-); д(.

где f={p,u), а значения di/dt получаются из уравнений (14.63), (14.64), в которых df/dxi аппроксимируются по следующим правилам:

На шаге предиктор

idx)i

На шаге корректор

если Xi < О,

если Я; > 0.

если Xi < О,

если Я/ > 0.

(14.67)

(14.68)

Порядок аппроксимации этой схемы, как и схемы Мак-Кормака, равен двум. Моретти [Moretti, 1979] показал, что некоторая эквивалентная структура может быть получена в случае более одной пространственной переменной или для стационар-цых двух- и трехмерных течений. Моретти предостерегает, что

предложенная схема непригодна для корректного сквозного расчета внутренних скачков, но с ее помощью можно проводить расчеты течений около тел сложной геометрии, подобных изображенному на рис. 14.21.

В работах [Dadone, Napolitano, 1983, 1985] разработан неявный вариант Х-схемы для решения уравнений Эйлера, описывающих изэнтропические сжимаемые течения. Хотя этот метод более эффективен, чем описанная выше явная формулировка, он допускает при расчете стационарных трансзвуковых течений наличие лишь слабых скачков.

Очень хороший обзор Х-схем сделан в работе [Napolitano, 1986]. Преимущества метода состоят в его широкой применимости и возможности постановки граничных условий, совместимых с теорией характеристик. Основной недостаток связан с неконсервативностью, вследствие чего данным методом невозможен правильный сквозной расчет скачков. Однако кажется возможным [Dadone, Magi, 1986] введение на скачках корректирующих членов, позволяющих точно рассчитать интенсивность ударных волн. Таким образом, модифицированная Л,-схема становится эффективной и при расчете стационарных трансзвуковых течений.

В описанном выше подходе необходимо выбрать соответствующую форму уравнений и зависимых переменных так, чтобы характеристики (14.62) появлялись явным образом.

Данный подход может быть обобщен на уравнения Эйлера {14.94), записанные в неконсервативном виде

t + t + -O. ( 9)

где А = dF/dq, В = dG/дц. Элементы матриц А и В определены в (14.99). Собственные числа матрицы А определяют характеристические направления dx/dt, а собственные числа матрицы В определяют характеристические направления dy/dt. Матрицы А и В можно представить в виде

А = TAjT- + ТАл Т- = А + А~,

4-1 14- (14.70)

В = SAjS + SAbS = в+ + В~

где Т и S - матрицы левых собственных векторов [Isaacson, Keller, 1966] матриц А и В; Ал и А J - диагональные матрицы положительных и отрицательных собственных чисел А; аналогично для матриц Ав и Ав. Следовательно, уравнение (14.69) может быть записано в виде

1 + А-а. + А-1 + в*1+В-1-0, (14.71)

где д{\1дх аппроксимируется разностями назад в членах, умноженных на А+, и разностями вперед для членов, умноженных на А-. Аналогично для B+5q/(9,(/ и B-(9q/(9f/. Такая формулировка является обобщением Х-схемы [Chakravarthy et al., 1980].

Можно отметить, что представление (14.71) не является консервативным, что не обеспечивает правильного сквозного расчета скачков. Однако, если вклады в потоки д¥/дх = = A-dq/dx построить и дискретизировать так, как описано выше, получится предложенный Стегером и Уормингом [Steger,. Warming, 1981] метод расщепления вектора потока, пригодный для сквозного расчета разрывов. Схемы расщепления вектора потока, однако, являются менее экономными, чем схемы Х-типа.

Схемы расщепления вектора потока и схемы расщепления разности потоков [Osher, Solomon, 1982] позволяют получать монотонные профили ударных волн без введения искусственной вязкости. Однако для получения резких неосциллирующих профилей необходимо введение некоторых иных дополнительных процедур. При введении этих дополнительных процедур явцые варианты всех, этих схем становятся не столь экономичными как схема Мак-Кормака, но зато можно добиться второго порядка точности [Harten, 1983] при удалении от разрывов. Некоторые примеры таких схем описаны в следующем разделе.

14.2.6, Расчет сильных скачков

Во всех задачах, связанных с распространением взрывных волн (т. е. существенно нестационарных), возникают очень сильные скачки. Для численного моделирования таких задач более предпочтительными оказываются методы расчета, основанные на физической природе явлений, такие, как методы Годунова или Глима [Holt, 1984; Peyret, Taylor, 1983]. Метод Годунова можно рассматривать как метод конечного объема (§ 5.2),. в котором предполагается, что каждые две соседние точки сетки (Xj.Xji) разделены в точке Xji/2 ударной волной или волной разрежения. Это позволяет использовать известные точные решения таких модельных задач для оценки потоков, например F, в уравнениях движения. Оригинальная схема Годунова имеет лишь первый порядок точности, скачки сильно размазываются. Ван Лир [Van Leer, 1979] предложил вариант схемы Годунова второго порядка, позволяющий получить крутые фронты ударных волн.

В работе [Colella, Woodward, 1984] предложено обобщение схемы типа Годунова более высокого порядка, использующее кусочную параболическую интерполяцию. В работе [Woodward, Colella, 1984] приведены результаты применения этого