при t = О расположена в точке х = 0.501. Решения, приведенные на рис. 14.18, получены после 100 шагов по времени при отношении давлений pi/p2 = 2.5 и отношении удельных теплоемкостей Y = 1.4. При таких условиях скорость распространения скачка

1.512.

Схема Лакса - Вендроффа дает решение (рис. 14.18) с сильными осцилляциями перед скачком. По схеме Мак-Кормака по-

о©

о Лакс-Вендрофф

+ Лакс-Вендрофф (искуствеинап вязкость) -точное решение

с +

? ф о d? ФI

0.60

0.65

0,70

0.75

0.80

Рис. 14.18. Задача о движущемся скачке, Pi/p2 = 2.5, у = 1.4.

ручается аналогичное решение (не показано на рисунке) с осцилляциями несколько меньшей амплитуды. Осцилляции вызываются в первую очередь дисперсионными ошибками (§ 9.2). Как и можно было ожидать, они усиливаются при увеличении интенсивности скачка р\/р2

Путем введения искусственной вязкости эти осцилляции могут быть значительно уменьшены. Желательно, чтобы эта вязкость одинаково эффективно работала в случае слабых и сильных скачков. Для этого вместо (14.43) вводится квадратичное выражение, тогда

(14.53)

где V - константа, значение которой необходимо определить. Искусственная вязкость вводится после того, как предварительное решение на временном слое п + 1 найдено.

Если решение, полученное по формулам (14.50) или (14.52), обозначить через q**, то коррекция при помощи искусственной вязкости проводится следующим образом:

где Aq*1.j = q*;j - q**. Использование искусственной вязкости

приводит к более строгому ограничению на шаг по времени связанному с устойчивостью Richtmyer, Morton, 1967]. Если заморозить член q: в (14.53), условие устойчивости примет вид

(U4 + a)<(l+v2)/2-v, (14.55)

следовательно, величину v следует выбирать как можно меньше как для получения точного профиля скачка, так и для ослабления условия устойчивости.

В программе SHOCK искусственная вязкость применялась ко второй и третьей компонентам (14.53). Результаты при v=l приведены на рис. 14.18. Видно, что осцилляции перед скачком существенно уменьшаются за счет размазывания скачка на большее число сеточных интервалов. Как и можно было ожидать в соответствии с (14.53) и (14.54), искусственная вязкость слабо влияет на решение вдали от скачка.

Для сильных скачков введение искусственной вязкости дает меньший эффект. Это показано в п. 14.2.7, где проводится сравнение с расчетом, полученным по алгоритму FCT (метод коррекции потоков), который позволяет получить резкий профиль скачка. В программе SHOCK предусмотрено при параметре IFCT = 1 применение процедуры ЕСТ, описанной в п. 14.2.7.

14.2.4. Обтекание конуса под углом атаки

Для стационарных невязких всюду сверхзвуковых течений можно выбрать маршевое направление, для которого уравнения будут гиперболическими. Для конуса, расположенного под углом атаки (рис. 14.19), в качестве маршевого направления удобно выбрать его образующую х. Уравнения, описывающие эту задачу, имеют вид

t + f+ f-+Н = 0. (14.56)

Е = г

kp + ри puv

L pUW

F = r

pw puw pvw Lp + pw -

puv kp + pt;2 pvw -J 0

- (kp + pw)

- (kp + ptiy2)

puw - +pvw

dx dr

dy dr

dy

Здесь k = (y-1)/2y, a у - отношение удельных теплоемкостей. Применительно к (14.56) схема Мак-Кормака записывается

Рис. 14.19. Конус под углом атаки, как следующий двухшаговый алгоритм:

ЕП = 0.5 [(Е?., + ЕЬ) - If (f;. * - F} , .) -

(14.57) (14.58)

где Е а = Е(пДд;, /Ау, М). В конечно-разностных уравнениях (14.57), (14.58), представленных в виде явного маршевого алгоритма, используется времениподобная роль направления х. Однако величина шага по маршевой переменной Дд: будет огра-