Здесь точка (х/, г ) лежит на S, а значение г/г/ определяется выражением (14.3).

Если значения {хк,ук) ограничены расчетной границей S, то (14.17) превращается в условие совместности Ф(5) и dO{s)/dn, Для рассмотренного ранее примера обтекания изолированного тела дФ(8)/дп известно и (14.17) превращается в интегральное уравнение Фредгольма второго рода для Ф(5). Обычно предполагается, что поведение Ф(5) описывается суммой одномерных интерполяционных функций (§ 5.3) Л/(), т. е.

Ф(5)=ЕЛ/ШФ/, (14.18)

где I - координата элемента, а Ф/ - значения Ф{8) в узлах.

В этом состоит метод граничных элементов [Brebbia, 1978]. Подстановка (14.18) в (14.17) и требование точного выполнения полученного уравнения в узлах позволяет получить линейную систему уравнений, эквивалентную (14.6), но непосредственно для Ф/.

Для внутренних задач часто величина Ф определена на одной части области, а дФ/дп - на другой. Вводя (14.18) для неизвестной Ф(5) и аналогичное пробное решение для неизвестной дФ{з)/дпу снова возможно решить задачу непосредственно, поскольку уравнение (14.17) обеспечивает совместность Ф(5) и дФ{8)/дп. Обтекание кругового цилиндра в канале относится к данному классу задач, если рассматривать ф как функцию тока. Решение этой задачи на основе описанного подхода получено Флетчером [Fletcher, 1984].

Продолжая решение за пределы расчетной границы, метод функции Грина можно свести к обобщенному методу панельных источников . Детали такого рассмотрения можно найти в книге [Jaswon, Symm, 1977].

14,1.4. Обтекание профиля с подъемной силой

Здесь рассматривается расчет течения около тел, обладающих подъемной силой, таких, как аэродинамические профили, расположенные под углом атаки. В этом случае для обеспечения однозначности подъемной силы решение, описанное в п. 14.1.1, должно быть модифицировано. Подъемная сила связана с циркуляцией Г по любому замкнутому профилю, содержащему тело, соотношением

L = 9UT, (14.19)

где r = T-dc. Для тела, изображенного на рис. 14.1, пригодным контуром для определения Г является поверхность тела.

Для учета циркуляции дополнительно вводится распределение поверхностных дуплетов (или диполей) \x(s). Уравнение (14.2) принимает вид

Ф {Хь yk) = иХ, + \0(S) (in г ) 5 - 5 р {S) (in Гу,) ds.

(14.20)

Распределение диполей р(5) может быть-связано с вихревой пеленой [Rubbert, Saaris, 1972]. Линейно изменяющийся панель-

Рис. 14.13. Суперпозиция решений: (а) течение без подъемной силы; (Ь) циркуляционное течение; (с) комбинированное течение с подъемной силой.

ный ДИПОЛЬ эквивалентен вихревой пелене постоянной интенсивности. На практике р(5) выбирается так, чтобы соответствующая величина Г удовлетворяла условию Кутты.

При практическом применении [Hess, 1975] используется линейность (14.1) и возможность суперпозиции решений. Для профиля под углом атаки применение обычного метода поверхностных источников (п. 14.1.1) дает решение, изображенное на рис. 14.13(a). Данное решение не соответствует реально существующему течению, поскольку из него следует бесконечно

большое значение скорости на задней кромке и отсутствие подъемной силы.

Условие Кутты состоит в том, что скорость должна быть конечна на задней кромке, и используется для определения из (14.19) величины Г и, следовательно, подъемной силы. Циркуляция Г создается численно путем введения поверхностного-распределения линейно изменяющихся диполей. Это приводит к чисто циркуляционному течению, изображенному на

Г

Условие Кутты

Рис. 14.14. Эффекты толщины вытеснения и условие Кутты.

рис. 14.13(b). Добавление этого решения к исходному решению от поверхностных источников с выбором интенсивности дуплетов так, чтобы удовлетворялось условие Кутты, дает физически правильное решение, показанное на рис. 14.13(c). Условие Кутты удовлетворяется требованием равенства касательных составляющих скорости в контрольных точках, прилегающих к задней кромке (рис. 14.14).

Круговое течение, изображенное на рис. 14.13(b), численна создается путем приписывания каждой контрольной точке вихря единичной интенсивности и определения из решения (14.16), какое распределение источников создает такое же поле течения.

Можно напомнить, что v/г/ -вектор компонент скорости в k-й контрольной точке, обусловленный действием единичного источника в /-Й контрольной точке. Если Vkj развернуть на 90°, т. е. (Vkj, -Ukj) у то в результате получатся компоненты скорости в k-й контрольной точке, обусловленные действием вихря в j-й контрольной точке.

Таким образом, суммарная компонента нормальной составляющей скорости в kй контрольной точке, обусловленная распределением вихрей единичной интенсивности, задается выражением

Vn=Jl (Ufe/sinafe-f ;/COsa;fe), (14.21)

а соответствующее распределение интенсивностей источников создающее чисто циркуляционное течение, получается из решения системы

Аа = -Т, {Vki sin ak + Ukj cos a). (14.22)