более точного решения сетки необходимо перестраивать по мере развития течения. Методы построения адаптивных сеток рассматриваются в книге Томпсона и др. [Thompson et al., 1986].

§ 13.6. Задачи

Построение сеток, основанное на решении уравнении в частных производных

(§ 13.2)

13.1. Примените преобразование Жуковского

к профилю NACA-0012 (координаты определяются уравнением (13.70) и подпрограммой FOIL). Параметр с в (13.80) соответствует приближенному значению радиуса профиля, близкого к круговому, в плоскости Z соответствующего в плоскости Z аэродинамическому профилю с единичной хордой. Согласно (13.6), параметр с связан с радиусом кривизны носка профиля гы соотношением

с =0.25-гу/8, (13.81)

где tn для (13.70) вычисляется по формуле

Начало координат для аэродинамического профиля расположено в точке {1-2с, 0}. Следовательно, координаты задней кромки {2с, 0}, координаты передней кромки {(-2с + 0.5гл), 0}.

1. Найдите координаты точек, лежащих на профиле, близком к круговому; этим точкам на аэродинамическом профиле соответствуют точки, лежащие на одинаковом измеряемом вдоль хорды расстоянии друг от друга. Используйте уравнение (13.7).

2. Определите координаты точек, расположенных на близкой к круговой поверхности с равным по углу шагом, и получите соответствующие точки на аэродинамическом профиле, используя обратное преобразование (13.80).

3. Для однородной полярной сетки, расположенной вне близкой к круговой поверхности, получите соответствующую сетку в физической области используя обратное преобразование. Наименьший радиус полярной сетки следует выбрать немного большим, чем наибольший радиус близкой к круговой поверхности.

13.2. Преобразование Шварца - Кристоффеля

±kt (13.83)

переводит ступеньку высотой h в плоскости Z в плоскую поверхность (вещественная ось) в плоскости I [Milne-Thomson, 1968]. Уравнение (13.83) можно проинтегрировать аналитически, в результате чего получается обратное преобразование

/ = In (S -Ь VF), Z = (h/n) ( -Ь sh /). (13.84)

Потенциальное течение у ступеньки описывается уравнением

0 + /ф = (Л/ооМ), (13.85)

где Uoo - скорость вдали от ступеньки вверх по потоку. Возьмите для определения сетки в плоскости 1 линии постоянного значения потенциала (Ф) и

функции тока (г)). Используйте для получения соответствующих точек сетки в плоскости (Z) обратное отображение (13.84).

13.3. Для построения ортогональной сетки на основе (13.31) программа /4LGEM должна быть модифицирована. Для этого проинтерполируйте (A:S(1, /), yS(l, /) и (XS(4, /), yS(4, /)) с постоянным шагом по s так, чтобы получить девять промежуточных плоскостей, аналогичных Ъг и Za, создаваемых первоначально в подпрограмме SURCH. Девять промежуточных поверхностей и две граничные поверхности определяют неортогональную сетку (.U, V) из п. 13.2.4, если ц = (/- 1)/(JMAX - 1) и v=(/C-1)/ (KMAX-1).

Начиная от поверхности ABC, уравнение (13.31) интегрируют численно для определения fX; -- Ajx на линии \k ортогональной сетки. С целью определения координат точек, соответствующих (р./ -f Ар v) на поверхности XS(Vft), YSiyk), проводится интерполяция. Данный процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута поверхность FED.

1. Исследуйте влияние размещения точек на ABC, числа и положения промежуточных поверхностей (v) на распределение точек ортогональной сетки.

2. Разработайте алгоритм, не допускающий пересечения линий сетки в области вогнутости вблизи точки В,

13.4. Повторите задачу 13.3 для алгоритма построения сеток, близких к ортогональным, описанного в п. 13.2.5.

13.5. Модифицируйте программу ALGEM для построения внутренних точек сетки на основе решения уравнения Пуассона (п. 13.2.6). Для построения граничных точек на ABC и FED (рис. 13.25) используйте {XS(1,/), У5(1,/)} и { 5(4, /), yS(4, /)}. Используйте аналогичную конструкцию для определения граничных точек на AF и CD.

1. Используйте алгорим SOR для решения (13.37) при Р = Q = О и равномерном распределении граничных точек.

2. Исследуйте возможность применения функций растяжения для контроля распределения внутренних точек.

3. Исследуйте дополнительный контроль при использовании Р и Q, определенных выражениями (13.39) и (13.40).

Построение сеток алгебраическими отображениями (§ 13.3)

13.6. Модифицируйте программу ALGEM так, чтобы по ней можно было получать решение в случае двух (Л = 2) и трех (Л = 3) поверхностей. В случае N = Ъ обеспечьте ортогональность сетки только к поверхности ABC, Сравните полученную сетку с вариантом = 4.

13.7. Модифицируйте программу ALGEM для построения сетки между эллипсоидом и прямоугольником и воссоздайте рис. 13.24.

13.8. Используйте в программе ALGEM уравнения (13.49) и (13.50).

13.9. Получите функцию растяжения Винокура [Vinokur, 1983] и включите ее в качестве опции в подпрограмму STRECH. Используйте данную опцию для сгущения точек вблизи Л и В. Другими словами, разбейте ABC на два сегмента Л5 и ВС и постройте мелкую сетку вблизи точек Л и В и непрерывную сетку при переходе через точку В, Возможно, что понадобится некоторая модификация сетки на FED. Исследуйте влияние на внутренние точки сетки при = 2, 3 и 4.

13.10. Введите в программу ALGEM трансфинитную интерполяцию 1) для определения граничных функций аналогично (13.48) на всех поверхностях; 2) для определения граничных функций на AF и CD (уравнение (13.49) на АБС и FED); 3) уравнение (13.49) на всех поверхностях.

Глава 14 Невязкие течения

в этой главе основные численные схемы, рассмотренные в гл. 3-10, будут использованы для построения эффективных численных алгоритмов расчета невязких течений. К ним относятся течения, рассмотренные в § 11.3 и п. 11.6.1. Будут рассмотрены наиболее современные и эффективные методы без подробного обзора предыдущих разработок, т. е. основное внимание будет уделено описанию новейших, а не более старых и менее эффективных методов.

Интересные с точки зрения инженерных приложений невязкие течения описываются уравнением неразрывности (11.10) уравнениями Эйлера (11.22) - (11.24) и невязким уравнением энергии, т. е. уравнением (11.38), правую часть которого следует положить равной нулю.

Различные подклассы невязких течений допускают использование для их численного исследования некоторых специальных систем уравнений. Некоторые из этих уравнений приведены в табл. 14.1. Как правило, для систем уравнений, расположенных в верхней части таблицы, возможно построение более эффективных алгоритмов численного решения, чем для остальных уравнений.

Линеаризованное уравнение потенциала весьма эффективно решается панельным методом (§ 14.1). Оно применимо для описания дозвуковых течений; как правило, это уравнение менее точно описывает сверхзвуковые течения. Полное уравнение потенциала является основным при расчете трансзвуковых течений (§ 14.3), если в них имеются лишь слабые ударные волны.

Для сверхзвуковых течений возможно построение маршевых алгоритмов решения стационарных уравнений Эйлера (п. 14.2.4) по направлению, примерно совпадающему с направлением течения. Для стационарных течений, в которых присутствуют до- и сверхзвуковые области и сильные скачки, необходимо интегрировать нестационарные уравнения ) до тех пор, пока не будет получено стационарное решение (п. 14.2.8 и 14.2.9). В двух этих

*> Можно решать и стационарные уравнения Эйлера. - Яраж. ред.