(11.26)

Уравнения (11.26) для вязкой жидкости заменяют уравнения Эйлера (11.22) - (11.24). Однако необходимо задать связь между различными вязкими напряжениями и скоростями деформации. Эта связь задается соотношениями

3 г dx T.. = --fi + 2n-f-. (11.27)

/ ди , dv

(ди ду \

ху - yx - lyy + д. J .

(ди . dw \

(dv . dw \

где 2) определяется уравнением (11.13). После подстановки (11.27) в (11.26) получаются так называемые уравнения

2 К. Флетчер, т. 2

11,2,3. Уравнение количества движения: вязкое течение

При рассмотрении вязкой жидкости по-прежнему верно уравнение (11.17). В уравнении (11.18) поверхностные напряжения, связанные ранее лишь с давлением, должны быть заменены тензором напряжений а, который может приводить к возникновению напряжений в любом направлении. Среднее от нормальных напряжений полагается равным давлению с обратным знаком. Остальной вклад в тензор напряжений связывается с вязкостью жидкости и образует тензор вязких напряжений т и а = = -р1 + т.

Следовательно, для вязких течений вместо уравнений (11.21) получается уравнение

P = pf-Vp + V-t, (11.25)

или в декартовых координатах

Навье - Стокса: Р -9Тх 3 дх

, д \ Г ди . dv W , д \ ( ди . dw \\ /tcov

dy 3 dy dx V dy , ci d f dv \ . д [ С dv . dw \\

(11.29)

Day dp 2 , d { Г du , dw

- dz 3

, d V / du . dw \] ,

или в векторном виде Dv

Р Ж = - VP - f V ([IV V) + 2V (.u def V), (11.31)

I / dv. dVf \

Уравнения (11.28) - (11.31) применимы для описания вязких сжимаемых течений. Более подробный вывод этих уравнений можно найти у Бэтчелора [Batchelor, 1967]. В книге Пэнтона [Panton, 1984] подробно обсуждаются различные члены уравнений Навье - Стокса.

11.2.4, Уравнение энергии

По первому закону термодинамики скорость изменения сум-мы внутренней и кинетической энергий системы равна скорости переноса тепла через ее поверхность минус работа, совершаемая системой в единицу времени. Для контрольного объема V это означает, что

S Р +T-J= S vdF -f 5 п . (v(T - Q)dS, (11.32)

V V s

где Q -скорость переноса тепла через единицу площади, е - удельная внутренняя энергия. В это выражение не включены внутренние источники тепла, связанные, например, с химическими реакциями. Первый и второй члены правой части (11.32) представляют работу, совершаемую соответственно объемными и поверхностными силами.

Применяя теорему Гаусса и устремляя объем к нулю, получаем

Рж( + т-) -р*- -() + -=о- (11-33)

Уравнение (11.33) содержит в себе закон изменения механической энергии

Р (т ) - Pf V - V . div а = 0. (11.34)

Исключая его, можно получить закон изменения тепловой энергии

P + pV-v = ®-V-Q, (11.35)

p-f = -v-Q. (И.36)

где h = e + p/p - удельная энтальпия, Ф(=т-Уу) - диссипа-тивная функция, возникающая из необратимой работы вязких сил. Скорость переноса тепла связана с локальным градиентом температуры уравнением (11.5):

Q = Vr. (11.37)

Уравнение (11.36) с учетом (11.37) в декартовой системе координат принимает вид

p-gf-фS+V ) + * (* If)

(11.38)

* - ту+т+т+ - ++

-hit + + t-y- < -39)

Заметим, что уравнение энергии будет использовано прежде всего при описании течений воздуха, который можно считать идеальным газом с уравнением состояния (11.1). Следовательно, внутренняя энергия и энтальпия связаны с температурой соотношениями

е = сАТ- ГгеО, h = Cp{T-- ГгеО, (11.40)

где Cv и C;t7 -удельные теплоемкости при постоянных объеме и давлении соответственно.