между касательной к координатной линии и осью х\ значение направляющего косинуса вычисляется по формуле (12.15). Очевидно, что если для некоторого конформного преобразования значения h и а известны, величины X(=/icosa) и т. д. можно определить непосредственно из (13.1).

Если используется конформное преобразование, расчетная сетка (I, т)) связана с физической сеткой уравнениями Лапласа

1хх + 1уу = 0, Цхх + Цуу = 0 (13.2>

и условиями Коши - Римана: 1х = Цу и 1у = -Цх. Поскольку уравнения (13.2) имеют точные решения, можно построить решения 1{х,у) и ц(х,у) путем суперпозиции и перехода к комплексным переменным [Milne-Thomson, 1968].

Используя комплексные переменные z = x + iy и £ = I + /л* конформное преобразование можно записать в символьной форме Z=f(), или более конкретно

dZ = Hdl или 7 = Яй, (13.3)

Н = he = h (cos а -f / sin а). (13.4)

Таким образом, согласно (13.1), Н содержит параметры преобразования XI и др.

Традиционно [Milne-Thomson, 1968] конформные преобразования использовались для расчета потенциальных течений (§ 11.3) около тел сложной формы с использованием известных решений для обтекания тел простой формы, таких, как окружность единичного радиуса (единичная окружность).

Здесь конформные преобразования используются для построения сеток без какого-либо ограничения на тип течения. На практике линии сетки могут быть выбраны так, чтобы они совпадали с линиями тока эквивалентной задачи потенциального обтекания. Это обстоятельство часто улучшает устойчивость численного метода, используемого для расчета более общей задачи.

В качестве законченного метода построения сеток конформное отображение можно рассматривать состоящим из двух этапов:

1) построение одного или последовательности отображений в результате чего получается соответствие между граничными точками в физической и расчетной областях;

2) построение внутренних точек в физической области, определяемое соответствием граничных точек, полученных на эта-пе (1).

13,2,2, Последовательные конформные отображения

Последовательность преобразований часто строится на основе преобразований Кармана - Треффтца [Milne-Thomson, 1968]:

где а, 6 в плоскости Z и А, В в плоскости Z выбираются в соответствии с рассматриваемой геометрией. Преобразование Кармана- Треффтца отображает аэродинамический профиль в плоскости Z в близкий к круговому профиль в плоскости Z\ Отображение будет рассмотрено на примере профиля, изображенного на рис. 13.13.

Параметры, входящие в (13.5), выбираются следующим образом:

A = Zt, B = Z , fl=-6 = iiL £L, k = 2-x/n. (13.6)

Положение точки Zt соответствует задней кромке профиля, а Zn лежит в точке, равноотстоящей от носка профиля и центра кривизны. Преобразование сингулярно в этих двух точках. Значение параметра k связано с задней кромкой, поскольку в соответствии с (13.6) в него входит угол т. При выборе параметров согласно (13.6) аэродинамический профиль в плоскости Z отображается в близкий к круговому профиль в плоскости Z (рис. 13.13), центр которого расположен вблизи точки С. Легко видеть, что угол т разворачивается до 180° в плоскости Z\

Подразумевается, что, согласно общей философии построения сеток, расчетная область обычно является простым прямоугольником, внутренние точки в котором образуют равномерную сетку.

Будет рассмотрено два подхода. Первый подход (п. 13.2.2) лрименим к хорошо обтекаемым телам, таким, как аэродинамические профили или лопатки турбин, которые путем последовательности отображений могут быть преобразованы в единичный квадрат. Во втором подходе (п. 13.2.3) используется одношаго-вое отображение, основанное на преобразовании Шварца - Кри-стоффеля многоугольника с сторонами в прямую линию. В настоящее время имеются различные модификации преобразования Шварца - Кристоффеля, делающие возможным отображение тел различной формы.

Преобразование (13.5) удобно представить в виде следующей последовательности:

со = 4, (13.7а)

Z- Б а - bv

(13.7b) (13.7c)

Выражения (13.7a) и (13.7c) включают в себя только линейные преобразования. Однако в выражении (13.7Ь) имеется не-

Плоскость Z

Начало координат в плоскости Z

Начало координат в плоскости Z

Плоскости Z и Z

Рис. 13.13. Последовательность отображений аэродинамического профиля.

которое усложнение, поскольку для каждого значения о существуют много значений v. Если профиль имеет заостренную заднюю кромку, т = О, то для каждого значения ш существуют два значения у. В более общем случае, когда т не равно нулю, каждому значению ш соответствуют бесконечно много значений v.

Способы правильных с вычислительной точки зрения выборов V рассмотрены Ивесом [Ives, 1982]. Грубо говоря, преобразование проводится так, что в рассматриваемую точку отображается безопасная точка, лежащая, например, в бесконечности вверх по потоку в физической плоскости Z.

Близкий к круговому профиль в плоскости Z легко преобразуется в такой же профиль с центром в начале координат в пло-