Щ + {и + р)х + {uv)y = -{Uxx + Uyyl (12.67)

что соответствует (12.54), если

q = u, F = u\p, G = uv, R + T = u/Re, 5 = 0. В результате (12.61) и (12.62) сводятся к виду

д; + + в; = + + rj, (12.68)

G- = [t/K +(12.69)

К + л>

На ортогональной сетке приведенное выше выражение для 5* равно нулю, что упрощает применение для его численного решения приближенно факторизованных схем (§ 8.2).

В п. 12.3.2 отмечено, что появление членов типа 1хх в F** и G** в (12.69) может привести к ошибке при существенном растяжении сетки. Однако ясно, что при больших числах Рейнольдса Re в (12.69) это обстоятельство несущественно, поскольку во многих случаях

и т. д.

(12.70)

Для двумерных ламинарных сжимаемых течений уравнение л-компоненты импульса в консервативной форме (11.26) можно записать в виде

(Р )< + (Р + Р)х + i9uv)y =

где вязкие напряжения Ххх и Хху равны

(12.71)

(12.72)

Подстановка этих выражений в (12.71) приводит к уравнению вида

{pu)t + ipu + р)х + {9uv)y = (4 т,) - (I \xvy) +

+ {\v,), + {viUy)y, (12.73)

Это уравнение имеет ту же структуру, что и (12.55), если положить

q = pu, F = pu + p, G = puv, R = T = u, S = v, (12.74)

Следовательно, преобразование (12.73) к обобщенным координатам может быть представлено в виде (12.61), где

F = { 9UU + [4 + (ц1у)у] + [-1 Ых)у +

+ (ЦУ.]у + 1ХР} ,

- (. лЛ +

+ imy)x\ V + ЦхР у}, R = [(4II +1 + (f) (т) (12-75)

S* = [2 (4.Л. + 1уЛ,) 1А + (I) (1хЛ, + v] (4) .

Уравнения динамики жидкости в консервативном виде в обобщенных координатах рассматриваются в работе [Eiseman, Stone, 1980]. Применение обобщенных координат для решения задач динамики жидкости иллюстрируется в п. 15.4.2 и § 18.4.

§ 12.4. Численное применение обобщенных координат

При решении практических задач с использованием обобщенных координат требуется записать решаемое уравнение в обобщенных координатах (§ 12.3), численно (как правило) определить параметры, связанные с сеткой (§ 12.2), представить уравнения в дискретной форме и решить их. Все эти этапы будут продемонстрированы на уравнении Лапласа, которое будет решено в обобщенных координатах при помощи конечно-разностного представления в области, рассмотренной ранее при иллюстрации метода конечного объема (п. 5.2.3).

12.4.1. LAGEN: уравнение Лапласа в обобщенных координатах

Решение уравнения Лапласа

(12.76)

будет найдено в области, изображенной на рис. 12.8, со следующими граничными условиями Дирихле:

= 0 на WX,

ф=вт/гху на XY, (12.77)

f==i/fYz на YZ,

= sine/r2 на ZW.

Уравнение (12.76) с граничными условиями (12.77) имеет точное решение

</>=sine/r, (12.78)

которое будет использовано для оценки точности численного решения.

К=КМАХ

X j=l j=JMAX

Рис. 12.8. Область решения уравнений (12.76), (12.77).

Уравнения Лапласа (12.76) в обобщенных координатах можно получить из (12.26). Оно принимает вид