Члены типа IxFi/J при помощи (12.7) можно записать в виде

После подстановки этих выражений в (12.48) члены типа (yr])i сокращаются и в результате получается уравнение

7; + *I + G; = 0. (12.51)

,. = 4, Г = GIhL. (12.52)

Очевидно, что после введения новых зависимых переменных 9*, F* и G* структуры уравнений (12.46) и (12.51) совпадают. Сравнивая (12.46) и (12.51), заметим, что прямое преобразование пространственных производных можно записать в виде

F, + G, = /(/* + G;), (12.53)

где F* и G* определяются уравнениями (12.52).

12.3,2. Уравнение в частных производных второго порядка

В данном пункте уравнение (12.46) будет записано в виде уравнения второго порядка двумя способами. При первом имеем

Gy Rxx

+ S,y + T . (12.54)

Чтобы получить уравнение, имеющее ту же структуру, что и уравнения, описывающие движение жидкости, свойства которого зависят от координат, будет рассмотрено также следующее уравнение:

qt + Fx + Gy = {aR,)x + (Р5)х + (65,) + {уТу)у, (12.55)

где а, р, б и 7 могут быть функциями от (х, у).

Для записи уравнения (12.54) в обобщенных координатах преобразование (12.53) используется в два этапа. На первом из них (12.54) записывается в виде

qt + F, + Gy = RHS, (12.56)

RHS = [R, + eSyh + [(1 - 8) + Ту]у, (12.57)

где е - параметр, определяющий распределение смешанной производной Sxy между членами, заключенными в скобки. Используя (12.53), уравнение (12.57) можно записать в виде

RHS = P5 + Q, (12.58)

P = {Rx + eSy) + [(1 - 8)+ Tyl Q = {Rx + eS,) + [(I - 8) + Г,],

(12.59)

[IxR + (I - e) lyS]x + [IxS + lyT]y ixxR + IxyS + lyyT

Используя (12.53) вторично, P преобразуют к виду

IxxR + lxy+luuT

(12.60)

Аналогичные преобразования позволяют преобразовать Q к виду Q = Ai + Вг\ + С, Подставляя данные выражения в (12.58) и используя (12.53), дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка (12.54) можно записать в строго консервативной форме

xxR + Лх/ + yy

--7-

(12.62)

Хртя для вывода уравнений (12.61) и (12.62) был введен параметр е, в окончательных выражениях он отсутствует. Строго консервативная форма (12.61), подобная (12.54), сохранена за счет введения более сложных зависимых переменных. Члены со вторыми производными Rxx и т. д. делают вклад в члены с первыми производными по g и Л-

В п. 12.2.3 отмечено, что если члены, подобные х, связанные с растяжением сетки, немалы, точность дискретизации и.

следовательно, решения может серьезно пострадать. Данный эффект проявляется через члены типа 1хх, входящие в F** и G**. Члены, подобные 1хх, могут быть непосредственно связаны с хц; примером такой связи служат формулы (12.81) и (12.82).

Для более общего вида уравнений в частных производных второго порядка (12.55) осуществление двух этапов применения уравнения (12.53) снова дают (12.61) со следующей заменой (12.62):

f =f +ы,), R+т,)у S+(бу, S+{у1у)у т] (I),

= G- + [{ацх)х R + (РЛЛ S + {У\у)х S + {уЦу)у Т] (1) . /?* = [allR + (Р + б) + уЩТ] (I) , (12.63)

5- = mxr\xR + (Р + 6) ИхЦу + Ш S + 2у1уЦуТ] {}) , Г = [alR + (Р + б) л,т1,5 + yyf/] () .

12.3.3. Уравнения движения жидкости

Уравнения неразрывности и Эйлера являются уравнениями в частных производных первого порядка. Уравнения для импульса и энергии в случае вязких течений имеют второй порядок.

Уравнение неразрывности (11.10) может быть непосредственно записано в виде (12.51), если положить q = F = ри, G=pv, В этом случае F* и G* равны

р, 9МрУ±, оЩШ. (12.64)

Полезно ввести в рассмотрение контравариантные компоненты скорости (/ и - компоненты вдоль координатных линий I и т] соответственно:

W = IxU + lyv, V = ц,и + ryv. (12.65)

Уравнение неразрывности в обобщенных координатах тогда имеет вид

что весьма схоже со структурой уравнения в декартовой системе координат.

Для несжимаемой вязкой жидкости уравнение х-компоненты импульса (11.83) в безразмерной консервативной форме имеет