2Ag2

(-/-1 --/ + -/+1

--()]- <->

Разложением в ряд Тейлора в узле / конечно-разностное выражение в правой части приводится к виду

RHS = 7 [l-2(r-l)]+..., (12.42)

Т. е. данная аппроксимация имеет ошибку 0(Ах2), если Гх = = 1 + 0(Ал:). Однако, если это не выполняется, такая аппроксимация Тхх в расчетной области вообще неверна. Это указывает на то, что точность аппроксимации вторых производных (при использовании обобщенных координат с увеличением сетки) падает быстрее, чем первых.

Если сетка неортогональна, использование обобщенных координат в многомерном случае приводит к появлению дополнительных членов в ошибке аппроксимации. Обычно эти ошибки пропорциональны cos 6 [Thompson et al., 1985], значение которого определяется выражением (12.17). Однако общепринято, что допустимы отклонения от ортогональности до 45

При расчете течений с ударными волнами или областями больших градиентов, как правило, желательно представить уравнения в консервативной форме (12.54) и дискретизацию их про-

ние по тем же разностным формулам, что и Т, предпочтительней, поскольку при этом в ошибке аппроксимации пропадает член{х/х)Тх и ошибка в решении будет меньше.

Кроме того, использование формул более высокого порядка или точных выражений ллях и х может привести к невыполнению некоторых метрических тождеств [Thompson et al., 1985], что влечет за собой появление ложных источниковых членов если производится дискретизация уравнений, записанных в консервативном виде (см. ниже). При любом способе аппроксимации х и х использование быстро растущих сеток приводит к большим значениям х и х, что увеличивает ошибку аппроксимации дТ/дх.

Таким образом, в общем случае ошибка аппроксимации определяется параметрами преобразования и, как в случае однородных сеток, размером шага сетки и производными более высокого порядка.

Дискретизацию дТ/дх в одномерной расчетной области (рис. 12.7) можно осуществить следующим образом:

дТ ( 2ЛЕ \2Г(Г ~2Г + Г;0

ВОДИТЬ так, чтобы она сохраняла консервативность. При ис-лользовании обобщенных координат возникают дополнительные трудности. Это может быть продемонстрировано на примере дискретизации первой производной Тх. В двумерном случае

= {Ту\ - {Ту\ = Ту - Ту. (12.43)

Первое равенство является представлением Тх в расчетных координатах в консервативной форме; второе равенство - неконсервативное представление. При использовании центральных разностей первое равенство преобразуется к виду (предполагается, что А = Ат] = 1)

{J-Tx)f k 0.5 [(Гг/,)у4-1, k - k - (Тук ki + W/, /-il-

(12.44)

Если параметры преобразования также определяются центральными разностями, то (12.44) можно выразить в виде

irT)f, 0.25 , (У/+1, - ,.i) ~

/-1, kiyf-i, k+i - ife-i) - /,fe+i (У/+1, k+\ - У/-1, k+i) +

+ 7/,fe-i(i/Ki,fe-i-f -i,fe-i)]. (12.45)

Если Г постоянна, то правая часть (12.45), как это и должно быть, обращается в нуль.

Однако, если уг\ и у в (12.44) определяются аналитически, то нет гарантии, что правая часть (12.43) будет равна нулю при постоянной Т. Из рассмотрения неконсервативной формы (12.43) следует, что Гл: = 0 в случае постоянной Т при любом определении уц и у.

Важность консервативного представления уравнений приводит к следующему правилу [Thompson et al., 1984]. Параметры преобразования и т. п. должны определяться численно, а не аналитически, причем по тем же дискретным формулам, что и производные зависимых переменных.

Другой важный результат, следующий из анализа ошибок аппроксимации, состоит в том, что параметры роста шага сетки, например Гх на рис. 12.7, должны быть близки к единице. Данное обстоятельство особенно существенно, если в уравнения входят вторые производные от физических параметров. Строгая ортогональность сетки уменьшает число членов в преобразованных уравнениях и, таким образом, делает алгоритмы расчета более экономными. Однако точность расчетов на сетках, близких к ортогональным, сравнима с точностью, полученной на строго ортогональных сетках.

§ 12.3. Структура типичных уравнений в обобщенных координатах

Соотношения, выведенные в п. 12.1.1, будут использованы в данном параграфе для записи типичных уравнений в частных производных в обобщенных координатах. В п. 12.3.1 и 12.3.2 в общем виде рассмотрены двумерные уравнения в частных производных первого и второго порядков. В п. 12.3.3 полученные формулы применяются к уравнениям, описывающим движение жидкости.

12,3,1, Уравнение в частных производных первого порядка

В данном пункте уравнение в частных производных общего вида будет преобразовано к эквивалентному уравнению в обобщенных координатах. Подобную не более сложную структуру имеют уравнения, описывающие движение невязкой жидкости, записанные в консервативном виде.

Рассматривается следующее двумерное уравнение:

gt + Fx + Gy = 0, (12.46)

где Fx = dF/dx и т. д.

Предполагается, что сетка в физической области (рис. 12.1) не изменяется со временем, т. е. обобщенные координаты (, г]) являются функциями только (х,у). Таким образом,

1 = 1{х, У\ Л = Л(, У). (12.47)

Более общий случай, когда сетка изменяется со временем, т. е. g = (x, у,/), л =П(-. У 0> рассмотрен в работах [Steger, 1978: Thompson et al., 1985]. Введение обозначений

д £ д . д д р д . д

дх dl дг\ ду dl дг\

позволяет записать (12.46) в виде

(4-) + !+ Ml + J!,+Ji2, o, (,2.48>

/ = 1.Л. - 1уЦ. = TThrr (12-49)

Параметр /, определяемый выражением (12.49), есть якобиан преобразования координат (12.3).