нейной интерполяцией и осреднением величины и ей подобных в точке Р можно получить выражение (12.30). Если изопа-раметрическое построение использовать на одном квадратичном элементе Лагранжа с точкой Р в качестве внутреннего узла, 1У10жно получить как (12.30), так и (12.31).

Для лучшего контроля за распределением по пространству значения якобиана имеет смысл рассмотреть в пространстве

Рис. 12.6. Неоднородная прямоугольная расчетная сетка.

ilyt]) прямоугольную, но неравномерную сетку (рис. 12.6). Величины Г и определяют увеличение шага сетки. В этом более общем случае для первых производных от параметров преобразования, подобных л:, по-прежнему верны соотношения (12.30); выражения (12.31), однако, заменяются следующими:

Ч-uk ( + Vl)*/.* +

/+1, k+1 k+l

+ /-1.

(1+г)(ц-гч)дДп

(12.33)

12.2,3, Дополнительные ошибки, связанные с использованием обобщенных координат

Может показаться, что для определения влияния использования обобщенных координат на ошибку решения достаточно получить выражение для ошибки аппроксимации и ожидать, что

факторы, вызывающие увеличение ошибки аппроксимации, аналогичным образом повлияют на ошибку решения. Однако, как следует из п. 10.1.5, соответствие не является вполне точным.

В качестве иллюстрации рассмотрим производную дТ/дх. В обобщенных координатах она может быть представлена в виде

дТ1дх==1Т + ц,

(12.34)

где Т = дТ/д1 и т. д.

В дальнейшем будем считать, что использование обобщенных координат состоит лишь в растяжении вдоль оси х и, таким об-

Физйческая область Область расчета

Рис. 12.7. Одномерное отображение.

разом, ц=у. Уравнение (12.34) приводится к виду

дТ Г дх х

(12.35)

Аппроксимацию (12.35) центральными разностями можно осуществить следующим образом (рис. 12.7):

(12.36)

Разложение различных членов (12.36) в ряд Тейлора в окрестности узла / в расчетной области дает

д2 т

...)

...)

В предположении что Ag мало, данное выражение может быть преобразовано к виду

(12.37)

Очевидно, что (12.37) является аппроксимацией производной, и на первый взгляд порядок точности по g равен двум. Однако дальнейшие алгебраические преобразования (12.37) приводят

К выражению

н-. Ы. = т,[Т АхгГ + ЗТ,.х]+.... (12.38)

Параметры преобразования xi и л: аппроксимируются следующим образом:

ч=isr + о т=0.5 (1+г,) 4J-+о т, % = Ii + о т=(г. -1) +о т.

Подстановка этих выражений в (12.38) дает

- п 1

+ ....

(12.39)

Член в (12.38), содержащий х, привел к появлению ошибки первого порядка в выражении, которое на регулярной {гх=1) сетке в физической области имело бы второй порядок точности. Для того чтобы точность выражения (12.36) была 0{Ах), необходимо, чтобы Гх=1 + 0{Ах), Другими словами, чтобы при помощи трехточечной центрально-разностной формулы получить аппроксимацию Тх со вторым порядком, необходимо, чтобы шаг сетки в физической области увеличивался не слишком быстро. Очевидно также, что использование неоднородной сетки привело к появлению диффузионного и дисперсионного членов (§ 9.2).

Интересно сравнить полученный выше результат ((12.38), (12.39)) с ошибкой аппроксимации в представлении производной дТ/дх при точно известном х. Выражение (12.36) запишется в виде

дх 2Дл:

Разложение правой части в ряд Тейлора приводит вместо (12.38) к равенству

2Ц,х

{ - L -

+ ....

(12.40)

Таким образом, использование точного выражения для х приводит к появлению дополнительного и при том главного члена в ошибке аппроксимации. Очевидно, что численное определе-