Разделы сайта

Читаемое

Обновления Oct-2018

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

нейной интерполяцией и осреднением величины и ей подобных в точке Р можно получить выражение (12.30). Если изопа-раметрическое построение использовать на одном квадратичном элементе Лагранжа с точкой Р в качестве внутреннего узла, 1У10жно получить как (12.30), так и (12.31).

Для лучшего контроля за распределением по пространству значения якобиана имеет смысл рассмотреть в пространстве

Рис. 12.6. Неоднородная прямоугольная расчетная сетка.

ilyt]) прямоугольную, но неравномерную сетку (рис. 12.6). Величины Г и определяют увеличение шага сетки. В этом более общем случае для первых производных от параметров преобразования, подобных л:, по-прежнему верны соотношения (12.30); выражения (12.31), однако, заменяются следующими:

Ч-uk ( + Vl)*/.* +

/+1, k+1 k+l

+ /-1.

(1+г)(ц-гч)дДп

(12.33)

12.2,3, Дополнительные ошибки, связанные с использованием обобщенных координат

Может показаться, что для определения влияния использования обобщенных координат на ошибку решения достаточно получить выражение для ошибки аппроксимации и ожидать, что



факторы, вызывающие увеличение ошибки аппроксимации, аналогичным образом повлияют на ошибку решения. Однако, как следует из п. 10.1.5, соответствие не является вполне точным.

В качестве иллюстрации рассмотрим производную дТ/дх. В обобщенных координатах она может быть представлена в виде

дТ1дх==1Т + ц,

(12.34)

где Т = дТ/д1 и т. д.

В дальнейшем будем считать, что использование обобщенных координат состоит лишь в растяжении вдоль оси х и, таким об-

Физйческая область Область расчета

Рис. 12.7. Одномерное отображение.

разом, ц=у. Уравнение (12.34) приводится к виду

дТ Г дх х

(12.35)

Аппроксимацию (12.35) центральными разностями можно осуществить следующим образом (рис. 12.7):

(12.36)

Разложение различных членов (12.36) в ряд Тейлора в окрестности узла / в расчетной области дает

д2 т

...)

...)

В предположении что Ag мало, данное выражение может быть преобразовано к виду

(12.37)

Очевидно, что (12.37) является аппроксимацией производной, и на первый взгляд порядок точности по g равен двум. Однако дальнейшие алгебраические преобразования (12.37) приводят



К выражению

н-. Ы. = т,[Т АхгГ + ЗТ,.х]+.... (12.38)

Параметры преобразования xi и л: аппроксимируются следующим образом:

ч=isr + о т=0.5 (1+г,) 4J-+о т, % = Ii + о т=(г. -1) +о т.

Подстановка этих выражений в (12.38) дает

- п 1

+ ....

(12.39)

Член в (12.38), содержащий х, привел к появлению ошибки первого порядка в выражении, которое на регулярной {гх=1) сетке в физической области имело бы второй порядок точности. Для того чтобы точность выражения (12.36) была 0{Ах), необходимо, чтобы Гх=1 + 0{Ах), Другими словами, чтобы при помощи трехточечной центрально-разностной формулы получить аппроксимацию Тх со вторым порядком, необходимо, чтобы шаг сетки в физической области увеличивался не слишком быстро. Очевидно также, что использование неоднородной сетки привело к появлению диффузионного и дисперсионного членов (§ 9.2).

Интересно сравнить полученный выше результат ((12.38), (12.39)) с ошибкой аппроксимации в представлении производной дТ/дх при точно известном х. Выражение (12.36) запишется в виде

дх 2Дл:

Разложение правой части в ряд Тейлора приводит вместо (12.38) к равенству

2Ц,х

{ - L -

+ ....

(12.40)

Таким образом, использование точного выражения для х приводит к появлению дополнительного и при том главного члена в ошибке аппроксимации. Очевидно, что численное определе-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2018 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка