Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 [ 2 ] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

СИЯ. Принимается, что справедливы уравнения, подобные уравнению (11.1), однако термодинамические параметры являются функциями координат и времени, т. е. р = p{x,y,z,t), р = = р(х, Уу Zy t)y T = T(x,y,zJ). Кроме того, необходимо дать однозначное описание движения. В настоящей книге используется


чХч\\\\\\\\\\\\

Плоский поток

Рис. 11.1. Плоский поток, параллельный неподвижной поверхности.

эйлеров подход, в соответствии с которым скорость и термодинамические параметры рассматриваются в фиксированных точках (х, Уу г, t) пространственно-временного объема. В противоположность этому подходу при лагранжевом описании исследуются отдельные частицы жидкости, положение и термодинамические свойства которых считаются зависимыми переменными. Связь между подходами Эйлера и Лагранжа обсуждается в работе фон Швинда [von Schwind, 1980].

Наличие в движущейся жидкости сдвиговых сил приводит к понятию динамической вязкости. Рассмотрим плоскость, движущуюся со скоростью и параллельно другой неподвижной плоскости (рис. 11.1). Жидкость, прилегающая к верхней пластине, удерживается у ее поверхности (т. е. движется со скоростью U) силой тЛ, где Л -площадь пластины, т -сдвиговое напряжение. На элемент жидкости, расположенный между пластинами, действуют две сдвиговые силы (т-/-1). На верхней поверхности элемента эта сила направлена вправо, на нижней - влево. Жидкость, прилегающая к нижней пластине, удерживается у ее поверхности под действием силы тЛ. Экспериментально обнаружено, что сдвиговое напряжение прямо пропорционально градиенту скорости ди/ду, т. е.

г = 11 ди/ду..

(11.3)

Коэффициент пропорциональности pi называется вязкостью (динамической). Вязкость измеряется в кг/м-с. Для рассмотренного примера сдвиговое напряжение т постоянно и, следовательно,



9Ср

распределение скорости описывается соотношением

u/U = y/h. (11.4)

Уравнение (11.3) описывает поведение так называемых ньютоновских жидкостей. Течения воздуха или воды подчиняются закону (11.3). Неньютоновские жидкости, т. е. жидкости, для которых не выполняется условие (11.3), описаны Тэннером [Tanner, 1985].

Вязкость газов, подобных воздуху, при нормальных температуре и давлении с высокой точностью зависит лишь от температуры. Для воздуха вязкость увеличивается с температурой по закону (Г - абсолютная температура). Типичные значения вязкости приведены в табл. 11.1. Для жидкостей, подобных воде, вязкость слабо зависит от давления, но сильно изменяется с температурой. В отличие от газов вязкость жидкостей, как правило, быстро падает с увеличением температуры. Характерные величины вязкости приведены в табл. 11.2.

Для течений, сопровождающихся изменениями температуры, справедлив закон Фурье, согласно которому локальная скорость переноса тепла прямо пропорциональна локальному градиенту температуры, т. е.

Qi = -k> (11.5)

где - скорость переноса тепла на единицу площади в направлении Xi, а k - теплопроводность. Следует отметить аналогию между соотношениями (11.3) и (11.5). Если значения температуры пластин на рис. 11.1 различны, то в соответствии с законом (11.5) в жидкости будет иметь место перенос тепла, определяемый соотношением

Qy=-k. (11.6)

Теплопроводность измеряется в Вт/м-К. Подобно вязкости теплопроводность газов увеличивается с температурой. Для жидкостей, например для воды, теплопроводность слабо увеличивается в диапазоне температур от 0° до 100 °С при давлении в одну атмосферу. Типичные величины теплопроводности воздуха и воды приведены в табл. 11.1 и 11.2.

Вязкость и теплопроводность входят в рассматриваемые в дальнейшем уравнения импульса и энергии (см. (11.31) и (11.38)). Удобно ввести в рассмотрение кинематическую вязкость V и тепловую диффузию а, определяемые соотношениями

li k

v = и а =



где Ср -удельная теплоемкость при постоянном давлении. Значения V и а измеряются в м/с и определяют диффузию соответственно количества движения и тепла. Для газов, подобных воздуху, V и а увеличиваются с температурой (табл. 11.1). В жидкостях кинематическая вязкость v быстро падает с увеличением температуры, а тепловая диффузия а увеличивается незначительно (табл. 11.2).

Более подробно свойства жидкостей и связь этих свойств со свойствами молекул описаны Лайтхиллом [Lighthill, 1963] и Бэтчелором [Batchelor, 1967].Свойства наиболее распространенных жидкостей приведены в работе [Eckert, Drake, 1972].

§ 11.2. Уравнения движения

Для вывода уравнений движения жидкости обычно рассматривается малый контрольный объем и требуется, чтобы для жидкости, протекающей через этот объем, выполнялись законы сохранения массы и энергии, а скорость изменения трех компонент импульса была бы равна соответствующим компонентам приложенных сил. Это позволяет получить пять уравнений, которые в комбинации с уравнением состояния позволяют определить шесть величин: обычно это значения р, р, Г, и, у, ш. В потоках, связанных с процессами горения, а также в некоторых геофизических течениях фигурирует более одной компоненты жидкости. Для каждой новой компоненты необходимо дополнительное уравнение (сохранение компоненты). Наоборот, для некоторых течений достаточно рассматривать не все из шести переменных и для описания таких течений требуется меньшее число уравнений.

1L2J. Уравнение неразрывности

Согласно закону сохранения вещества, для произвольного неподвижного объема V (рис. 11.2) скорость изменения массы внутри него равна потоку массы через поверхность 5, ограничивающей объем V, т. е.

4r\9dV=\9WndS. (11.7)

где п - единичный вектор нормали (внешней). По теореме Гаусса [Gustafson, 1980] поверхностный интеграл может быть заменен на объемный. Уравнение (11.7) принимает вид

S[ + V.(pv)]dK=0, (11.8)



1 [ 2 ] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка