§ 18.6. Заключение

Численное решение полных сжимаемых уравнений Навье- Стокса в достаточно сложных расчетных областях встречается довольно редко. В работе [Peyret, Viviand, 1975] приведен анализ алгоритмов, разработанных до 1975 года. Большая часть алгоритмов явные. За последуюпхие четыре года [MacCormack, Lomax, 1979] ситуация изменилась: появилось много эффективных неявных алгоритмов (п. 18.3.2 и 18.4.1). Это в сочетании с развитием методов использования обобщенных координат (п. 18.4.1) позволило получить решения в областях довольно сложной формы, например было рассчитано течение около двумерного профиля [Steger, 1978].

Десятью годами позднее работы [Peyret, Viviand, 1975] правоте [Shang, 1985] отмечалось, что в первую очередь в результате развития компьютеров (гл. 1) появилась возможность рассчитать течение около любого отдельного элемента самолета. Можно ожидать, что расчеты сжимаемых турбулентных течений около полного самолета [Anon, 1986] вскоре станут достаточно экономными и их можно будет брать за основу при проектировании.

Кажется вероятным, что такие крупномасштабные расчеты будут базироваться в основном на методах, описанных в этой главе, в частности в п. 8.4.1. Схемы TVD и, возможно, адаптивные сетки [Thompson, 1984] позволят получить скачки с достаточно резкими границами.

Для стационарных течений основные улучшения могут быть лолучены в результате ускорения сходимости к стационарному состоянию. Несмотря на успешное применение многосеточных методов, не ясно, будут ли они эффективны для решения уравнений Эйлера, поскольку в этом случае, в частности при использовании зонной стратегии [Hoist et al., 1986], имеется более широкий диапазон сеточных масштабов. Итерационные или сглаживающие схемы, подобные методу Ньютона (§ 6.1), могут оказаться более эффективными при определении стационарного решения, чем схемы приближенной факторизации. Однако эффективность подобных методов зависит от используемой дискретизации, которая должна приводить к усилению диагонального преобладания.

Другой важной областью дальнейших исследований является улучшение моделей турбулентности. В настоящее время основные разработки в этой области связаны с несжимаемыми течениями. Алгебраические модели турбулентной вязкости (п. 18.1.1) позволяют получить достаточно точные для целей проектирования распределения осредненных характеристик течения, таких, как давление на поверхности, если течение безотрывно. Но

ДЛЯ течений с большими отрывными зонами и (или) нестационарных течений при решении сжимаемых уравнений Навье- Стокса требуются более сложные модели турбулентности, основанные на прямом определении напряжений Рейнольдса. При этом структура дополнительных уравнений, описывающих турбулентность, оказывается аналогичной структуре уравнений Навье-Стокса. Поэтому учет этих эффектов не должен приводить к существенному изменению численных алгоритмов.

Более сильное влияние на оптимальный выбор алгоритма, по-видимому, будет оказывать развитие архитектур вычислительных машин. В настоящее время все более распространенными становятся компьютеры с параллельными, возможно по одному на каждую точку сетки, процессорами [Ortega, Voigt, 1985]. Применение таких компьютеров делает экономически выгодным использование простых явных алгоритмов (§ 18.2).

В этой главе была описана дискретизация, основанная на конечно-разностных методах и методе конечных элементов. Однако методы конечных объемов являются также весьма эффективными и применяются широко [Deiwert, 1984]. Менее широко, в первую очередь из-за трудностей, связанных с ударными волнами, используются спектральные методы [Hussaini, Zang, 1987].

§ 18.7. Задачи

Физические упрощения (§ 18.1)

18.1. Покажите, что уравнение неразрывности для двумерного турбулентного течения может быть записано в виде

(a) при использовании обычного осреднения по Рейнольдсу

dt дх дх dy ду (18.175)

(b) при использовании взвешенного по массе осреднения по Рейнольдсу

18.2. Примените модель Куэтта к двумерному турбулентному несжимаемому уравнению -компоненты импульса и покажите, что вблизи твердой стенки

т-т = - (18.177)

где локальное сдвиговое напряжение т= (v vt)ди/ду, а значение др/дх считается постоянным поперек слоя. Введите длину перемешивания в выражение Vr = (щ) I ди/ду \ и в предположении vr > v покажите, что

< t=(-+i ) -

§ 18.7. Задачи 529

Покажите, что уравнение (18.23) может быть получено из (18.178), если др/дх = 0. Предложите дискретизацию уравнения (18.178), из которой можно определить значение скорости и в ближайшей к стенке точке сетки.

18.3. Получите уравнения (18.26) и (18.27) из стационарного уравнения энергии (18.24). Проведите, как в п. 16.1.1, анализ порядков величин и покажите, что в результате упрощения уравнения (18.26) можно получить (18.29).

18.4. Исключите все производные по х, связанные с вязкими членами в уравнениях (18.6)-(18.10), и покажите, что при этом получится приближение тонкого слоя, описываемое уравнениями (18.31), (18.32).

Явные схемы (§ 18.2)

18.5. Проведите разложение в ряд Тейлора значений F и G в явной схеме Мак-Кормака (18.35), (18.36) и покажите, что основные члены в ошибке аппроксимации имеют порядок 0(А2 Дд.2)

18.6. Постройте явную схему Мак-Кормака для уравнения (18.49) и покажите, что из анализа устойчивости по Нейману (§ 4.3) получается следующее ограничение на шаг по времени At:

21 + а Ах

18.7. Применив схему расщепления по времени Мак-Кормака к уравнению (18.6), получите уравнение (18.43) в соответствующей форме предиктор - корректор.

18.8. Рассмотрите применение схемы Вамбека (Wambecq) (18.47) к уравнению диффузии

-1х-& = 0. (18.179)

dt дх Покажите, что если b = -0.5 и с = 1, то

Аи = AtiiLxxu , А 2 = At\iLxxU*, Ам = M\iLxx (l.Sw - 0.5м*),

где а* = + AwS Lxx - центрально-разностное представление ди/дх. Предположите, что скалярное произведение таково, что (е, f) = neifi, т. е. все элементы ей! одинаковы. Покажите, что схема Вамбека в этом случае имеет вид

Примените полную схему Вамбека и схему (18.180) к уравнению (18.179) и определите эмпирически, есть ли какое-либо ограничение на At для устойчивости решения.

Неявные схемы (§ 18.3)

18.9. Покажите, что дополнительные (неявные) члены в (18.53) и (18.54) можно трактовать как введение возмущений третьего порядка (по времени) в схему (18.50), (18.51).

18.10. Покажите, что если X определяется условием (18.55), схема (18.53), < 18.54) безусловно устойчива.

18.11. Получите из уравнений (18.58) алгоритм, описываемый уравнениями (18.65), (18.67), (18.69) и (18.70).