После подстановки выражений, определяющих Ххх и т. д., перехода к координатам (, т]) и отбрасывания производных по 5 вектор S принимает вид

(1 + К) \ + Ш Л, +

it + 1) № - 1) Pl (А + 0.5 (и + v%} + + (i/6) [Л {и\ + (), + 2л,Л, {uv\]

(18.116)

Для численного решения уравнения (18.115) используется метод приближенной факторизации Бима-Уорминга, в результате чего получается

(I + pALA - QirLj) (I + - MLr -

= -Л/ [LF + - L.s] - 8h/-[(V5a/ + (vA)1 -q -

(18.117)

Операторы и L являются центрально-разностными операторами второго порядка. Их вид задается выражениями (18.145) при г=1. Якобианы A = dF/dq и B = d&/dq получаются с использованием соотношений (18.113) из якобианов декартовых векторов потока A = dF/dq и B = dG/dq. Таким образом,

А = А + В, В = А + В. (18.118)

Декартовы якобианы А и В выражаются cooтнoJ[пeниями (14.99) через зависимые переменные. Якобиан IA=dS/dq возникает при линеаризации S * относительно т. е. так же, как и в уравнении (18.74). Якобиан М состоит из следующих элементов:

О о 0 0

m4i 43 44.

(18.119)

тз\ = -02 -щ- (Ф) - 3 (Wp).

- 2а2 - (ыс/р) - 3 (у Vp).

= -04 (И/р) - 21, 43 = -04 -Щ- (v/p) - з

44 = 04 -

дц

Уравнения (18.121) получены в предположении ламинарности течения; эквивалентное представление с турбулентной вязкостью следует непосредственю из уравнений (18.9) и (18.10). При выводе выражения для М зависимость р, и й от решения q не учитывалась. Учет этих зависимостей значительно увеличивает число операций при решении системы (18.117) относительно Aq без существенного увеличения точности при рассмотрении нестационарных задач. Для стационарных задач вообще не получается выигрыша в точности.

В уравнение (18.117) включены явные диссипативные члены четвертого порядка (VA) и неявные члены второго порядка

IV чч- Явная диссипация введена для подавления высокочастотных колебаний, возникновение которых на мелких сетках при больших числах Рейнольдса связано с нелинейными членами (эффект побочного воздействия (aliasing) )) (п. 18.5.1). При малых числах Рейнольдса для контроля нелинейной неустойчивости достаточно физической диссипации. Алгебраическая форма оператора (VA) приведена после формулы (17.51).

) Термин эффект побочного воздействия (aliasing) (см. т. 1, с. 431) вводится автором для характеристики процессов накопления ошибок при моделировании течений волнового типа. Такие процессы реализуются, когда волны, не улавливаемые дискретной моделью, так как их длина меньше размера ячейки, все же оказывают паразитное влияние на основное решение через посредство нелинейных конвективных членов определяющего уравнения.- Прим, ред.

Если ВКЛЮЧИТЬ лишь явную диссипацию, схема будет устойчива лишь при выполнении условия 8,£ > 1/16. Данное ограничение может быть полностью устранено путем введения неявной диссипации четвертого порядка в левую часть уравнения (18.117). Однако это приведет к пятидиагональной системе уравнений, решение которой требует значительно больших затрат, чем решение трехдиагональной системы, возникающей при использовании трехточечных операторов. Поскольку добавление численных диссипативных членов должно быть как можно меньше, в левую часть (18.117) удобно добавить неявные диссипативные члены второго порядка с ei = 2eE и 8£ = А. На поверхности тела &/ и ее полагаются равными нулю. Вблизи границ явный оператор четвертого порядка заменяется оператором Лапласа второго порядка.

Уравнение (18.117), как и в алгоритме Бима - Уорминга (18.78), (18.79), решается в два этапа:

(I + А - вгГЦ/) Дф, , = Aq;. ь (18.122)

(1+ pALT,B--pA/VM/--8/rLT,/)Aqf,V =Aqlk. (18.123) где

Aq, k = -А/ + LG - LrS] - 8/- [{ViAif + {Vrf] /q .

(18.124)

Уравнения (18.122), (18.123) являются (4 X 4)-блочно-трех-диагональными системами, связанными с линиями сетки соответственно в направлениях g и г]. Выбор р=0.5 и 1.0 позволяет получить схему второго и первого порядков по времени. Если для определения стационарного решения использовать метод установления (§ 6.4), более работоспособным и эффективным является выбор р = 1.0.

Применение алгоритма (18.122), (18.123) в обобщенных координатах незначительно менее эффективно применения алгоритма Бима -Уорминга (18.78), (18.79) в декартовых координатах. В первую очередь это связано с тем, что приближение тонкого слоя и неучет зависимости р и от q при образовании М существенно упрощает учет вязких членов.

В более ранних применениях этого алгоритма [Steget, 1978; Pulliam, Steger, 1980] использовалась явная постановка граничных условий, т. е. q полагалось равным q на границах. Это приводило к появлению ошибки первого порядка по времени, что несущественно при определении стационарного решения. Однако для нестационарных задач или если этот алгоритм используется как маршевый по пространственной переменной