решения таких систем можно использовать алгоритм, описанный в п. 6.2.5. Параметры аир такие же, как в (18.73), и аналогичны 7 и р в (17.116). Матрицы Якоби \ = dF/dq и В = = dG/dq являются матрицами размера 3X3 и эквивалентны матрицам А и В, определяемым формулами (14.99).

Присоединенная правая часть (RHS) в (18.85) определяется выражением

(RHS) = Му L R + ® LyS + ® LyyT - Af ® L,F -

-Mx<S> LyG + LLy (dS/dq) Aq (18.87)

Последний член в (RHS) необходим для явного выражения правой части. Таким же образом использовался член ЛР? в (18.76). Обычно это не приводит к существенному уменьшению максимального шага по времени, при котором может быть получено устойчивое решение.

При а = 0.5 и р=1.0 решения, получаемые по формулам (18.85) и (18.86), имеют второй порядок по времени и пространству. На однородной сетке наличие массовых операторов имеет сглаживающий эффект и позволяет получить пространственную дискретизацию четвертого порядка невязких членов д¥/дх и dG/ду.

Описанный алгоритм использовался для расчета дозвукового (Мсх. = 0.4) обтекания уступа (рис. 17.14). Рассматривались ламинарные и турбулентные течения. Для турбулентных течений вблизи твердой поверхности применялась алгебраическая модель турбулентной вязкости (18.12), основанная на длине перемешивания. Вне пограничного слоя и в следе использовалась модифицированная модель Клаузера с релаксацией вверх по потоку (18.13) - (18.16). В отрывной зоне за уступом вместо (18.13) принималось следующее выражение для турбулентной вязкости [Deiwert, 1976];

= 0.0168рМ (-) Dr. (18.88)

Здесь у измеряется от стенки (CD на рис. 17.14), Dr - фактор затухания ван Дриста, Dr = 1 - ехр(-f/+/26), f/+ определяется по формуле (18.22).

В данной задаче распределение давления по уступу различное в случае ламинарного и турбулентного течений. Типичные результаты расчетов приведены на рис. 18.5. Коэффициент давления

С, = (Р- Poo)/(0.5pf/L), RE = UH/v,

где Я -высота уступа. Результаты, приведенные на рис. 18.5, получены на сетке 34 X 42. По направлению у сетка была

0,35 г

-ail

Re = 23 ООО, турбулентное течение

).00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 1Z.00 14.00

Рис. 18.5. Распределение давления за ступенькой, Моо = 0.40.

22.00Г

Турбулентное течение. Re = 23 ООО

2.001- -1-1-1-1-1-1 L-U I I

0.00 4.00 8.00 12.00 16.00 20.00 24.00

Рис. 18.6. Распределение максимальных сдвиговых напряжений за ступенькой,

Моо = 0.40.

однородной; в направлении х использовалась сетка, увеличивающаяся (гх = 1.2) вверх и вниз по потоку от стенки уступа.

Соответствующие распределения максимальных сдвиговых напряжений для турбулентного течения приведены на рис. 18.6. Распределение сдвиговых напряжений качественно хорошо согласуется с экспериментальными данными [Eaton, 1981]. Более подробно детали метода и результаты применения описаны в работе [Srinivas, Fletcher, 1984].

18,3.4. Приближенная LV-факторизация

При построении неявных схем, основанных на приближенной факторизации (§ 8.2), для решения сжимаемых уравнений Навье - Стокса получаются связанные с каждой линией сетки (4 X 4) -блочно-трехдиагональные системы уравнений, например (18.78) или (18.79). Если используется алгебраическое уравнение для энергии, размер блоков сокращается до 3X3 (см. уравнения (18.85) и (18.86)). Однако, как отмечено в п. 6.2.5, число операций в блочном алгоритме Томаса порядка 0(5yVAfV3), где М - порядок блока. Очевидно, что желательно избежать блоадо-трехдиагональных систем.

Это достигается в результате построения неявных пространственных операторов на основе односторонних разностных формул. В этом случае возможна приближенная LU-факториза-ция. Можно поступить и иначе, а именно каждое из приближенно факторизованных уравнений типа (18.78), (18.79) может быть подвергнуто дальнейшей факторизации, в результате которой получается приближенная LU-форма. Однако эта дальнейшая факторизация должна проводиться как можно точнее. Иначе обычно происходит потеря точности по времени, в результате чего в методе установления возрастает число итераций, необходимых для получения стационарного решения.

Применение алгоритма приближенной факторизации (п. 8.2.2) к одномерному скалярному уравнению переноса с диффузией

1 + = 0. где F = F,-, (18.89)

позволяет построить следующий неявный алгоритм:

[ 1 + Р (LA - mL,)] Л?; = л/ rhs = а/ (- l/ + ixL.ql),

(18.90)

где Lxy Lxx - трехточечные центрально-разностные операторы и A=dF/dq. В левой части (18.90) оператор второй