где / Пробегает все точки сетки. Скалярные произведения, вычисленные один раз на каждом временном шаге, определяют весовые множители, с которыми берутся поправки Д и Д в каждой точке сетки. Поэтому метод явный и экономичный. Схема РРК (18.47) имеет первый порядок точности по времени, если ЬсФ-0.5. При be = -0.5 порядок точности равен двум. Схема Л (а) устойчива (рис. 7.10), если

<2cos (;-cos )- (18.48)

В работе [Satofuka et al., 1986] получено устойчивое решение с числом Куранта до четырех при решении полных уравнений Навье-Стокса с моделью турбулентности Болдуина-Ломакса (п. 18.1.1). Рассматривалась задача о трансзвуковом обтекании лопатки компрессора при Мсх. = 0.76 и числе Рейнольдса ЗХЮ. Как видно из рис. 18.3, в случае отсоса на стенке имеется хорошее совпадение с экспериментальными данными. Решение получено в обобщенных координатах на сетке 129X33 (гл. 12).

Для решения уравнений Эйлера, где не требуется использовать столь мелкие сетки вблизи стенки, как в случае уравнений Навье-Стокса, схемы Рунге-Кутты эффективно комбинировались с многосеточным подходом [Jameson, 1983].

§ 18.3. Неявные схемы

Для определения лишь стационарного решения более предпочтительными являются неявные схемы, несмотря на успешное использование явных схем в сочетании с методом Рунге-Кутты интегрирования по времени и многосеточным подходом. Это связано с тем, что в неявных схемах нет ограничений на шаг по времени, следующих из линейного анализа устойчивости (§ 4.3). На практике ограничение на шаг по времени существует, но оно значительно более слабое, чем в явных схемах. Это ограничение в неявных схемах может быть связано с нелинейными эффектами, с требованием к точности при рассмотрении нестационарных задач или с медленной сходимостью при использовании метода установления для нахождения стационарного решения.

В данном параграфе будут описаны четыре неявных алгоритма. Сначала будет рассмотрена двухдиагональная схема Мак-Кормака, являющаяся прямым обобщением соответствующей явной схемы (п. 18.2.1). Затем будет рассмотрено применение неявной схемы Бима-Уорминга [Beam, Warming, 1978] (п. 18.3.2) для решения сжимаемых уравнений Навье-Стокса.

Данный алгоритм аналогичен схеме приближенной факторизации, описанной в § 8.2, 8.3, 9.5 и п. 10.4.2 и 14.2.8.

В п. 18.3.3 будет рассмотрено обобщение приближенной факторизации группового метода конечных элементов (п. 17.3.3) на сжимаемые течения. Развитие алгоритма приближенной факторизации путем введения расщепления LU описано в п. 18.3.4.

18.3,1. Неявная схема Мак-Кормака

Данный метод будет продемонстрирован на примере обобщения явной схемы Мак-Кормака (п. 18.2.1) для решения одномерного уравнения переноса (9.56). Для удобства одномерное уравнение переноса записывается в виде

-f + >t--S-0- № )

Явная схема Мак-Кормака (18.35), (18.36) применительно к уравнению (18.49) может быть записана в следующем виде.

Шаг предиктор

Аду е = -аЖ+дЧ + ц ML.ql,

Шаг корректор

q1+= 0.5 {q1 + qy + Aq1+), где Lx и Lt - односторонние разностные операторы:

a Lxx - центрально-разностный оператор второго порядка:

ххй! --д2-

Для устойчивости шаг по времени в схеме (18.50), (18.51) должен выбираться так, чтобы выполнялось условие

Данное условие является одномерным аналогом условия (18.40).

Мак-Кормак [MacCormack, 1982] предложил неявный алгоритм, эквивалентный (18.50), (18.51). Этот алгоритм может быть представлен следующим образом.

* (18.54)

Шаг предиктор

q*-i = q} + Aq)-. Шаг корректор

При расчете по формулам (18.53) и (18.54) поправки Aq** и Д9+1 получаются по формулам (18.50) и (18.51). При этом в расчете по формуле (18.51) qy заменяется на qy\ рассчитанное по формуле (18.53).

ная линейная устойчивость (§ 4.3). Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие

Параметр X выбирается так, чтобы обеспечивалась безуслов-

Я>тах[(а + ---4?) \

Из сравнения с условием (18.52) следует, что если At такое, что явный алгоритм будет неустойчивым, то можно выбрать положительное значение X, при котором схема (18.50) -(18.54) будет устойчивой. Если таково, что чисто явный алгоритм устойчив, т. е. выполнено условие (18.52), значение X полагается равным нулю и не требуется проведения неявной стадии алгоритма (18.53), (18.54).

Условие (18.55) проверяется в каждой точке. Поэтому для многих задач дополнительные неявные шаги не требуются в частях расчетной области. Это обстоятельство делает весь алгоритм более экономичным.

Если \kAt/Ax ограничено при стремлении А и Ajc к нулю, неявная схема Мак-Кормака, как и явная (18.50), (18.51), имеет второй порядок точности по времени и пространству. Сохранение второго порядка точности по времени [MacCorrnack, 1982] обеспечивается третьим порядком точности по времени дополнительных поправок в (18.53) и (18.54).

Двухдиагональность алгоритма (18.53), (18.54) означает, что неявные поправки А* и Aq -* могут быть определены явным образом. На шаге предиктор (18.53) представляется в виде

qУ + (Я tx) Ао*/Л