Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 [ 159 ] 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

устойчивости:

(2ji/Re р) [2у/Рг + (2/3)0-5] + [ + + (2)0.5] д (18.41)

где а - скорость звука.

Из вида условий устойчивости (18.40) и (18.41) следует, что в трехмерном случае ограничение на шаг по времени более жесткое, чем в двумерном и одномерном случаях.

Чтобы избежать этого ограничения, Мак-Кормак [MacCormack, 1971] в описанную выше схему ввел расщепление по времени. Расщепление по времени, аналогично описанной в § 8.5 процедуре, приводит к последовательности одномерных пространственных операторов. Для уравнения (18.6) одномерные операторы могут быть представлены в виде

4i% = P.(K)%k (18-42)

Здесь уравнение (18.42) эквивалентно уравнениям Ч/. ft = ЧЬ - k - k]

ч;%=0.5 (q;., + q;.,) - 0.5 [f;. , - f;

Аналогичные выражения для (18.43) могут быть получены из уравнений (18.35) и (18.36). Весь алгоритм определения решения на новом временном слое вместо (18.35), (18.36) принимает вид

Симметричная картина повторяющихся пространствных операторов от At/2 необходима, чтобы получить алгоритм второго порядка по времени.

Устойчивость алгоритма (18.44) определяется устойчивостью отдельных операторов. Таким образом, аналогичное (18.41) ограничение на Рх при произвольных Дл: и Ау имеет вид

(ji/Re р) [2у/Рг + (2/3) -5 {x/y)] + l\u\ + a]x

Очевидно, что возможно применять большие шаги по времени. Дополнительное преимущество состоит в том, что для различных координатных направлений могут быть использованы различные шаги по времени. Для обтекания тонких тел, параллельных оси л:, необходимы малые в направлении у шаги сетки для разрешения больших пространственных градиентов скорости и тем-



пературы, связанных с поверхностным пограничным слоем. Применение схемы расщепления по времени (18.44) позволяет избежать влияния на Atx ограничения на шаг Aty.

Схема расщепления по времени эффективна, хотя и требует введения вспомогательных процедур вблизи границ [Peyret, Taylor, 1983]. Схема Мак-Кормака в сочетании с методом установления (п. 6.2.4) малоэффективна для определения стационарного решения, если только не применяется многосеточный подход (п. 6.3.5) [Chima, Johnson, 1985].

18.2,2, Схема Рунге - Кутты

В явной схеме Мак-Кормака, описанной в п. 18.2.1, второй порядок точности по пространству достигается весьма экономным образом. Однако ограничение на шаг по времени (18.45) существенно снижает общую эффективность алгоритма при нахождении стационарного решения методом установления для течений с большими числами Рейнольдса.

Из условия (18.45) следует, что при больших числах Рейнольдса условие устойчивости схемы расщепления Мак-Кормака эквивалентно тому, что число Куранта С = (\и\-\-а)А1х/1!1 не превышает единицу. Конечно, влияние больших чисел Рейнольдса непосредственно сказывается и в ограничении на шаг по пространственной переменной для правильного разрешения тонкого пограничного слоя.

В результате применения метода прямых (§ 7.4) из исходной системы уравнений можно получить систему обыкновенных дифференциальных по времени уравнений. Для ее решения удобно использовать маршевые по времени схемы Рунге-Кутты, поскольку для этих схем можно использовать большие, чем в схеме Мак-Кормака, значения числа Куранта. Например, для нестационарных течений можно использовать схему Рунге-Кутты четвертого порядка (7.53). Эта схема при достаточно малых диссипативных членах устойчива, если С < 2 V2.

Для нахождения стационарных решений методом установления имеет смысл использовать рациональную схему Рунге- Кутты (РРК) [Wambecq, 1978] первого или второго порядков поскольку она позволяет использовать еще большие числа Куранта. Рациональная схема Рунге-Кутты будет продемонстрирована на уравнении общего вида

dqldt = W{q), (18.46)

Это уравнение можно рассматривать как одну из компонент системы (18.6) после проведения пространственной дискретизации. Схема РРК использовалась в работе [Satofuka et al.,



1986]. Для дискретизации первых и вторых пространственных производных в уравнениях (18.6) -(18.10) рекомендуется использовать обычные трехточечные центральные разности.

-1.2

-0.8-

NACA65(12)10


данное решение, Pj/Pi = 1 229

Д V эксперимент без отсоса на конце стенки О эксперимент с отсосом на конце стенки

Хорда

Рис. 18.3. Сравнение с экспериментальным распределением давления в каскаде 65(12)10 ([Satofuka, 1986]; печатается с разрешения AIAA).

Двухшаговая схема РРК применительно к уравнению (18.46) может быть построена следующим образом. Промежуточные поправки определяются выражениями

Ад = AtW {q% Aq = AtW ( + с Aq% Aq = {\-b)Aq + bAq\

и решение на новом временном слое - по формуле

в уравнении (18.47) (е, f) означает скалярное произведение, т.е.

(е, \)-=Y,edi,



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 [ 159 ] 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка