В уравнении энергии поток тепла принимает вид

Q, = k- + c9ru. (18.3)

Для замыкания системы уравнений средние от флуктуационных величин в уравнениях (18.2), (18.3) должны быть выражены через осредненные параметры течения.

Обзор работ по моделированию турбулентных сжимаемых течений сделан Марвином [Marvin, 1983] и Брэдшоу [Bradshaw, 1977]. Для течений с числом Маха, меньшим пяти, можно непосредственно использовать модели турбулентности, разработанные для несжимаемых течений, в которых следует допустить изменение средних значений плотности по пространству и времени.

В настоящее время моделирование турбулентных сжимаемых течений в основном осуществляется на основе введения турбулентной вязкости, т. е. напряжения Рейнольдса в (18.2) и (18.3) связываются со средними параметрами течения соотношениями

-cT% = k,, (18.5)

И флуктуационную части:

и = й + и, Т = Т + Г\

Взвешенное по массе осреднение применяется ко всем переменным, за исключением плотности и давления, которые расщепляются обычным образом:

р = р + р, р = р + р\

Детальное описание взвешенного по массе осреднения приведено в книге [Cebeci, Smith, 1974]. Если пренебречь некоторыми малыми флуктуационными членами, в результате взвешенного по массе осреднения Рейнольдса уравнений Навье- Стокса можно получить уравнения, вид которых на уровне сдвиговых напряжений и тепловых потоков совпадает с ламинарным представлением (11.116) [Rubesin, Rose, 1973]. Напряжения в (11.117) в декартовых тензорных обозначениях заменяются выражением

где k* в уравнении (18.4) -турбулентная кинетическая энергия {k в (11.95)). В уравнениях импульса член, содержащий. k, комбинируется с давлением. Турбулентная теплопроводность кт связана с турбулентной вязкостью соотношением кт = Ср11т/Ргту где Ргг - турбулентное число Прандтля. Для воздуха Ргг = 0.9.

Введение турбулентной вязкости и теплопроводности позволяет использовать ту же форму уравнений, что и для описания ламинарных течений, заменив лишь р. и й на {[1-\-[1т)и (k+kr).-В рамках турбулентной вязкости применимы обе алгебраические модели (п. 11.4.2) и модель, описываемая двумя уравнениями (п. 11.5.2).

В работах [HaMinh et al., 1986; Vandromme, HaMinh, 1986J использовано полное замыкание рейнольдсовых напряжений в сжимаемых уравнениях Навье -Стокса, т. е. в систему уравнений включалось полное уравнение переноса напряжений Рейнольдса. В настоящей книге такой способ замыкания не рассматривается.

Уравнение, описывающее двумерное сжимаемое турбулентное течение в предположении, что напряжения Рейнольдса могут быть связаны со средними параметрами течения уравнениями (18.4) и (18.5), имеют вид (если отбросить значки -и означающие средние значения)

dt дх ду

ри + р - х puv - Ху

(18.6>.

puv - Ху

Pv+P-Xyy

(Е + р-Хуу)V - xyU + Qj, J

(18.7).

Для идеального газа

p=iy-l)[E-0.5p{u + v%

(18.8>

T., = (fx + fir) (17 +ж)

и потоки тепла - соотношениями

в (18.9) ® -дилатация, т. . 3) = ди/дх-\- dv/dy.

Для нестационарных задач в уравнении (18.6) необходимо в качестве начальных данных определить вектор зависимых переменных q. Граничные условия нужно определить и для стационарных, и для нестационарных течений. Граничные условия для уравнения (18.6) рассматривались в п. 11.6.4. На твердой поверхности ставятся граничные условия прилипания и необходимо определить температуру или поток тепла. Таким образом, на неподвижной поверхности

= = 0, Т = Т, или />L= Q. (18.11)

Открытые границы, т. е. границы, через которые протекает жидкость, полезно подразделять на входные и выходные. Для внешних течений около тел в однородном потоке вязкие и турбулентные члены обычно пренебрежимо малы на удаленных (открытых) границах. Следовательно, уравнения, описывающие течения, сводятся к уравнениям Эйлера, а число и вид граничных условий могут быть определены на основе теории характеристик (п. 14.2.8).

Для внутренних течений или внешних течений с открытыми границами, расположенными вблизи твердой поверхности, (турбулентными) вязкими эффектами и эффектами теплопроводности пренебречь нельзя. Теоретически обоснованные граничные условия в этом случае еще не установлены. Некоторые вопросы обсуждаются в работах [Rudy, Strikwerda, 1981; Bayliss, Turkel, 1982]. Число граничных условий, необходимое для уравнений Навье - Стокса, приведено в табл. 11.6.

На входной границе необходимо определить все зависимые переменные; на выходной должны быть определены все зависимые переменные, кроме одной. Обычно на выходной границе используются нулевые условия Неймана {df/dx = Q, где х -на-

Напряжения в уравнениях импульса определяются соотношениями

т 2 + t.,) If- -1 (ц + t.,) -1 pk,

= 2 (ц + цр) 1 -1 (ц + tip) - I Pk*\ (18.9)