11,6.2. Течения в сжимаемом пограничном слое

При выводе уравнений сжимаемого пограничного слоя используется тот же подход, что и при выводе уравнений несжимаемого пограничного слоя, т. е. его толщина предполагается малой по сравнению с характерным размером в направлении потока. При этом, однако, следует включить в рассмотрение уравнение энергии для определения теплового пограничного слоя, внутри которого температура подвергается быстрым изменениям подобно скоростному пограничному слою [Schlichting, 1968].

Для сжимаемого пограничного слоя в уравнение неразрывности (11.10) можно внести лишь упрощения, связанные со стационарностью или двумерностью течения. Таким образом, для стационарного двумерного сжимаемого ламинарного пограничного слоя уравнение неразрывности принимает вид

(pu) + {pv) = 0. (11.111)

Стационарное уравнение х-компоненты импульса (11.28) приводится к виду

p(<# + f) = - + i(f)- < - 2)

Это уравнение можно сопоставить с (11.61). Здесь плотность является функцией координат, а вязкость, как правило, зависит от температуры. Уравнение энергии (11.38) для течений в тонком стационарном тепловом пограничном слое принимает вид

где Ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении, а k - коэффициент теплопроводности. Система уравнений (11.111) - (11.113) имеет смешанный параболическо-гиперболи-ческий тип, и, следовательно, для нее необходимо определить начальные и граничные условия

и{хоу у) = и,{у), Г(хо, у) = Т{у\ (11.114)

и{х, 0) = 0, v{x, 0) = 0, Г(х, 0) = Г,(х)

или k(x, 0) = -Q,(x), (11.115)

и(х, Ь)=иЛх), Т(х, б) = ГЛ),

где у = Ь определяет границу пограничного слоя. Обычно при решении системы (11.111) -(11.115) делается преобразование, устраняющее явное наличие плотности (§ 15.2). Полученная

система для сжимаемых течений решается так же, как и эквивалентные ей несжимаемые системы (§ 11.4 и 15.1).

Вывод уравнений для осредненных параметров турбулентного сжимаемого пограничного слоя аналогичен выводу, приведенному в п. 11.4.2. При этом, однако, возникают дополнительные произведения, связанные с флуктуациями плотности и температуры [Schlichting, 1968; Cebeci, Bradshow, 1984]. Алгебраическая модель вихревой турбулентной вязкости, описанная в п. 11.4.2, легко обобщается на случай сжимаемого пограничного слоя и весьма эффективна при проведении расчетов [Cebeci, Bradshow, 1984].

11.6,3, Сжимаемые вязкие течения

При расчете течений сжимаемой вязкой жидкости с обширными отрывными зонами необходимо решать полные уравнения,

Моо>1

Ударная волна

f-) )

Рис. 11.17. Типичное течение.

Т. е. уравнения (11.10), (11.26) и (11.33) (рис. 11.17). Как правило, здесь возможны лишь незначительные упрощения, например пренебрежение влиянием массовых сил. Для анализа задач внешнего обтекания, где эффекты сжимаемости связаны в основном с движением жидкости, соответствующие уравнения удобно представить в консервативном виде. Уравнение неразрывности (11.10) уже записано в консервативном виде. Чтобы представить в консервативном виде уравнение (11.26), к нему надо добавить уравнение (11.10), умноженное слева векторно на V. Уравнение (11.33) приводится к консервативному виду после сложения его с выражением (-f V2V-v)X(11.10).

В трехмерном случае уравнения могут быть компактно представлены в виде одного векторного уравнения

дх л -1- л. -

(11.116)

ри pv pw Е

ри + р - х puv - Ту paw -

(Е + р - т) и - Xyv - xw + Qx

puv - Xy

PV+P- Xyy

PVW - Xyz

JE + p - Xyy) V - xyU - xyW + Qy pw

paw - x

pVW - Хгу PW + P -

(11.117)

Уравнения (11.116), (11.117) описывают как ламинарные, так и турбулентные сжимаемые течения. В случае ламинарных течений значения компонент тензора вязких напряжений Ххх и т.д. определяются соотношениями (11.27). Для турбулентных течений в эти значения входят также члены, представляющие рейнольдсовы напряжения (п. 11.5.2). Компоненты теплового потока Qxy Qyy Qz определяются соотношениями (11.37), которые в случае турбулентных течений должны быть дополнены градиентами турбулентных потоков тепловой энергии. Величина Е в (11.117) равна полной энергии на единицу объема

Е = р[е + ОЪ ( 2 + 2 + а;2)].

(11.118)

где е - удельная внутренняя энергия. Если внутри течения имеются ударные волны, консервативная форма уравнений (11.116) дает более точные решения. Система (11.116), (11.117) является системой смешанного типа - параболическо-гипербо-лической для нестационарных течений и эллиптическо-гипербо-лической для стационарных. Соответствующие граничные условия рассматриваются в следующем разделе.

Для описания турбулентных сжимаемых течений с крупномасштабными отрывными зонами необходимы модели турбулентности, подобные (й - е)-модели (п. 11.5.2). Можно разра-