нения переноса (9.88), (9.89). На первом шаге уравнение

= -RHS + Mx<B>MyAC (17.120)

представляет набор независимых трехдиагональных систем алгебраических уравнений вдоль каждой линии сетки в направлении X (постоянные значения k на рис. 17.15). Решение (17.120) эффективно осупхествляется алгоритмами, описанными в п. 6.2.2 и 6.2.3. На втором шаге уравнение

My - ДтТ7 {-куу - V)] AS = ДГ (17.121)

решается алгоритмом Томаса (п. 6.2.2) на каждой линии сетки в направлении у (постоянные значения / на рис. 17.15). В уравнениях (17.120) и (17.121) и и V - функции координат и на них действуют соответственно операторы Lx и Ly. В уравнениях (9.88) и (9.89) это не имеет места.

Дискретизация уравнения (17.93) методом Галёркина с конечными элементами осуществляется так же, как описано выше. Вместо (17.114) получается следующая полудискретная форма:

Мх My = {My(S> + Mx(S> Lyy} г) - (8) М,?. (17.122)

Применение такого же расщепления, как и к уравнению переноса завихренности, позволяет получить двухшаговый алгоритм

(Мх - Ат Аг)* = (My (g) L + (g) Lyy) Г ~

МхМу (-j t + jf АГ) , (17.123) {My - At [P/(1 + Y)] Lyy} Ая) = Аг)*. (17.124)

В уравнениях (17.123) и (17.124) Ат -фиктивный шаг по времени, позволяющий получить итерационное решение на каждом физическом шаге по времени Д. Для нестационарных задач итерации должны продолжаться до тех пор, пока не будет выполнено уравнение (17.92). Для стационарных задач итерации (17.123), (17.124) достаточно проводить три-четыре раза на каждом физическом шаге по времени А. Сходимость к решению уравнения (17.92) достигается при приближении решения (17.93) к стационарному состоянию.

На каждом шаге по времени At для решения уравнений (17.123) и (17.124) можно непосредственно применять

Му-:

алгоритм Томаса (п. 6.2.2) вдоль линии сетки в направлениях j и k соответственно.

Уравнения (17.91) устанавливают связь между полем скорости и функцией тока. Применение одномерного метода Галёркина к уравнениям (17.91) позволяет получить следующую зависимость решения для скорости от решения для функции тока:

MyU = Lyyp, MxV = -LA, (17.125)

Эти уравнения трехдиагональные вдоль направлений линий сетки и / соответственно. Следовательно, после того как найдено решение для функции тока, эти уравнения могут быть легко решены, в результате чего определяется поле скоростей (и, v).

Постановка граничных условий требует введения дополнительных процедур. На твердой поверхности для определения граничных значений используется псевдонестационарная форма (17.92):

Применение метода Галёркина с конечными элементами и приближенной факторизации позволяет получить двухшаговый алгоритм, аналогичный (17.120) и (17.121). На первом шаге

(Y + ар А/) Мх АГ = а А/ {My ® + ® Lyy) V +

+ aM[Myf{v) + Mxg{u)l (17.127)

на втором шаге

MyAC-=At:, (17.128)

Дополнительные члены f{v) и g{u) возникают при применении теоремы Грина к дур/дх и dyjp/dy для узла Галёркина, расположенного на границе (п. 8.4.2). Для поверхности FE на рис. 17.14 f{v) = 0 и g{u) = ирв/Ау. Если расчетная граница совпадает с поверхностью уступа, то Ufe = 0. Однако, чтобы избежать трудностей, связанных с сингулярностью завихренности в точке £, Флетчер и Сринивас ввели поверхностный слой. В результате Ufe не равно нулю.

При применении метода Галёркина с конечными элементами вблизи границы используются два четырехугольных элемента, а не четыре, как во внутренней области. Следовательно, вид массового и разностного операторов по нормали к границе отличен от операторов (17.115), используемых внутри. Однако массовый и разностный операторы по касательной к границе имеют тот же вид, как и внутри. Например, на поверхности FE (рис. 17.14)

, , о}, Lyy = -{1 -1,0Г. (17.129)

x

о, -i, ]-}, Lxx = {0, ~1, 1}. (17.130)

Для решения уравнений (17.125) требуется определить граничные условия Дирихле для v на AF, Это условие при помощи уравнения (17.9lb) определяется через значения я) внутри области

= [(тттт) ~ (тттт) + (тгтгттгг)

(17.131)

где точки с / = 1 совпадают с границей AF.

На выходной границе (ВС на рис. 17.14) функция тока рассчитывается из уравнений (17.123) и (17.124) с добавлением -AxMyVBc/Ax, Вид операторов My и Lyy в (17.123), (17.124) приведен в (17.115). Операторы Мх и Lxx определяются выражениями

, -i, о}, L = д1{1, -1, 0}. (17.132)

После того как значения \) на ВС определены, vbc определяется через значения внутри области при помощи выражения, аналогичного (17.131). На границе ВС ставится граничное условие: д%/дх=0; следовательно, Lxxl = 0 на ВС в (17.120). Кроме того, операторы Мх и Lx имеют вид

1, 4-, 0[, Lx = {-1, 1, 0}. (17.133)

6 3

Соответствующие операторы в направлении у приведены в (17.115).

Уравнения (17.127) и (17.128) трехдиагональные и совместно с уравнениями (17.120) и (17.121) образуют трехдиагональную систему, решение которой позволяет определить новое значение завихренности t,+K Для устойчивости параметр релаксации а должен быть ограничен условием: а 0.1. Для других зависимых переменных w, d и на твердой поверхности ставятся условия Дирихле.

На входной границе {AF на рис. 17.14) значения и соответствуют профилю скорости в пограничном слое вблизи F. От верхней границы пограничного слоя до точки А значение и=1, что соответствует скорости набегаюпхего потока. Функция тока на AF при этом определяется из уравнения (17.91а). Уравнения (17.127) и (17.128) при f{v) = vaf/Ax и g{u) = 0 используются для определения завихренности на AF, Операторы My в (17.127) и (17.128) имеют такой же вид, как в уравнениях (17.115). Операторы Мх и Lxx имеют вид