решение на удаленной границе, например, панельным методом (§ 14.1). Это часто позволяет определить более точное граничное условие u = Uoo{x) и приблизить границу АВ к телу. Однако такая процедура рекомендуется лишь для определения граничных условий Неймана. Граничные условия Дирихле могут приводить к появлению нефизических пограничных слоев вблизи АВ,

Для отрывных течений, связанных с обтеканием уступа, границу АВ лучше расположить подальше, так что на ней и = 1 и = 0. В другой постановке, получившей название аэродинамической трубы без трения, полагается, что = 1 и у = О на АВ. Фактически это приводит к граничному условию Дирихле

= \f). Граничное условие Дирихле для завихренности получается через значения внутри области аналогично условию (17.104). Из этих двух граничных условий следует, что ди/ду = = dv/dx = 0. Если граница АВ удалена от уступа достаточно далеко, глобальное решение сравнительно нечувствительно к конкретному способу постановки граничных условий на АВ. Однако плохая постановка граничных условий может привести к образованию пограничного слоя или локальных осцилляции вблизи АВ.

17.3.3. Применение группового метода конечных элементов

В этом разделе групповой метод конечных элементов (§ 10.3) будет применен для расчета несжимаемого ламинарного течения около уступа (рис. 17.14). Для определения стационарного течения метод установления будет применен к уравнениям (17.90),

(17.91) и (17.93). Далее будет рассмотрено аналогичное течение около расположенной по направлению потока полости

(рис. 17.17). Обнаружено, что если в полости имеется впрыскивание или отсос жидкости, возможно возникновение нестационарных режимов.

Метод Галёркина с конечными элементами с билинейной интерполяцией на четырехугольных элементах (§ 5.3) применяется к уравнению (17.90). Приближенные решения, подобные

(6.68), вводятся для t и групп ut, и как в (10.54). В результате получается полудискретная форма

Мх ® Myt + My(S> + Mx(S> LyVl -

- (Л1, ® + ® Lyy) I = 0, (17.114)

где Mx и - направленные массовые операторы, a Lx, Lyy и т. д. - направленные разностные операторы (т. 1, приложение А.2). На прямоугольной, но неоднородной сетке (рис. 17.15)

ЭТИ операторы имеют вид

1б 3 6J \ Q 3 6J

2 Ах

{1,0,-if

(17.115)

в случае однородной разностной сетки (гх = Гу=1) формулы (17.115) совпадают с приведенными в табл. 9.1.

J-1 К+1

../С+1

ГуАу

- О-

J-1 к

J+1 к

Рис. 17.15. Неоднородная прямоугольная сетка.

Уравнение (17.114) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений по времени. Для интегрирования по времени из (17.114) выводится следующий трехслойный алгоритм:

М(8>Му =PRHS4(1 -P)RHS (17.116)

Выбор Y и р зависит от рассматриваемой задачи. Для зависящей от времени задачи удобным выбором является v = О и Р = 0.5, что соответствует схеме Кранка - Николсона. Если при помощи метода установления ищется стационарное решение,

dt du dt dv dt,

И отбрасывания членов после приведенных здесь. Если dl/dt заменить на A+V и подставить (17.118) в (17.116), то получим

{1 + У)[Мх<В>Му- М(RHS)] А =

= А/ RHS + ® АГ. (17.119)

В RHS Р все члены определяются на временном слое п, за исключением и и V, которые вычисляются на временном слое / + РА/. Такая аппроксимация желательна при рассмотрении нестационарных задач. Для стационарных задач, где точность нестационарного решения несущественна, с вычислительной точки зрения более удобно определить и и v также на временном слое п. Определение и и v в RHS Р позволяет получить скалярную, а не (3 X 3)-блочно-трехдиагональную систему уравнений (17.120) и (17.121). При вычислении и и v в момент времени / --РА/ сохраняется второй порядок точности по времени.

Система уравнений (17.119) является линейной неявной системой относительно А + Прямые методы решения (17.119) с вычислительной точки зрения весьма дорогостоящи. Однако здесь применимы двухшаговые схемы расщепления, разработанные для решения уравнения диффузии (8.45), (8.47) и урав-

лучше положить 7 = 0.5 и р= 1.0, поскольку при этом увеличивается скорость сходимости [Fletcher, Srinivas, 1983]. Данный алгоритм применим и для решения двумерного уравнения переноса (9.87).

В уравнении (17.116) использованы обозначения

RH S = (1 /Re) {My ® + ® Lyy} ? - (17.117)

-My(S>LxUZ-Mx(SfLyVZ.

Для построения эффективного алгоритма и для того, чтобы избежать сильного ограничения на шаг по времени, связанного с устойчивостью, из (17.116) необходимо получить линейную относительно А5 + систему уравнений. Для этого надо линеаризовать RHS+ Наиболее просто это сделать при помощи разложения в ряд Тейлора относительно временного слоя п, т.е.

RHS = RHS +

+ \4г(RHS)4 + (RHS) + (RHS) 11 А/ +..., (17.118)