= -0.5 AxL H)l, - 0.5AyLyy (vl)l (17.99)

ного метода Ньютона (§ 6.4 и п. 10.4.3) следует, что при р = 1 скорость сходимости к стационарному состоянию будет выше.

В работе [Mallinson, de Vahl Davis, 1973] применялась схема Самарского и Андреева последовательно к (17.93) и (17.90). Они обнаружили, что максимальная скорость сходимости соответствует Д 0.8Ах 0.8АГ/2 и Дт 50гМ. В работе [de Vahl Davis, Mallinson, 1976] данный алгоритм использовался для сравнения трехточечных центральных разностей с двухточечными разностями против потока в (17.90) для больших чисел Рейнольдса. Очевидно, что схемы против потока высокого порядка (п. 9.3.2 и 17.1.5) могут быть включены в данный метод с некоторой модификацией неявного алгоритма.

В задаче о движущейся полости при решении уравнения (17.93) используются граничные условия Дирихле для -ф. При решении (17.90) определяются граничные условия для . Способ определения этих условий будет описан в п. 17.3.2.

В работе [Rubin, Khosla, 1981] решались уравнения (17.90) и (17.92) как связанная система при помощи модифицированного чисто неявного алгоритма (п. 6.3.3). Чтобы получить систему с диагональным преобладанием связанных уравнений при больших Re, для дискретизации д(и1)/дх использовалось следующее выражение:

ul; (.0 V + (1 - .) ; V +

+ 0.5Ax{l2iix)LxAuOU (17.98)

J + [(g)/+i./-(£)/,i] [(.g) ,-(.g), ]

\Xx = Q, если Uj,k>Q, и \Jix=\, если t , < 0. Эта схема, предложенная в работе [Khosla, Rubin, 1974], является схемой с разностями против потока на неявном слое (/г+ 1). Однако в стационарных условиях она превращается в трехточечную центрально-разностную схему.

Используя (17.98) и эквивалентное выражение для d{vt,)/dy, но в предположении, что u,v>Oy уравнения (17.90) и (17.92) можно представить в дискретном виде

Уравнения (17.99) и (17.100) образуют систему уравнений с (2 X 2)-матрицей с диагональным преобладанием. Уравнения связаны через значения и на слое (п+1) в точках (/- l,fe), а Л) у ij+hk), {j,k-1) и {j,k+\). Компоненты скорости в (17.99) берутся с явного [п) временного слоя. Уравнения (17.99)

Вихрь § , 0.0

,0.0

0.00

0.20

о. 40

0.60

0.80

Т. 00

Рис. 17.13. Картина линий тока в движущейся полости при.Re =10ООО ([Ghia et al., 1982]; печатается с разрешения Academic Press).

И (17.100), записанные во всех точках, образуют систему уравнений с разреженной (2X2) блочной матрицей. Такая система может быть легко решена по чисто неявной схеме (п. 6.3.3). Детали можно найти в работе [Rubin, Khosla, 1981]. Из-за сильной связи и \f) на неявном временном слое для устойчивости не требуется введения нижней релаксации после определения граничных условий для завихренности.

В работе [Ghia et al., 1982] метод Рубина и Хослы использовался в сочетании с многосеточным методом (п. 6.3.5) для решения задачи о движущейся полости (рис. 17.12) для чисел:

t/..-.=/..-A / If , + , + .... (17.102)

L ду J/, k

Из дискретного представления уравнения (17.92) и первого уравнения (17.101) следует

Следовательно, разложение (17.102) можно представить в виде

ll,k-i (/, + Уёд + о (Ау). (17.104)

Эта формула первого порядка впервые была предложена в работе [Thom, 1933] и широко использовалась впоследствии. Аналогичные выражения могут быть легко получены для других поверхностей.

Поскольку во внутренних точках используется дискретизация второго порядка точности, желательно граничные условия опре-

Рейнольдса до 10 ООО на однородной сетке 257 X 257. Характерный результат приведен на рис. 17.13. Для течения характерно образование основного вихря, заполняющего большую часть полости, и ряда угловых вихрей, вращающихся в противоположном направлении. Гиа с соавторами отмечают, что многосеточный подход позволил получить алгоритм примерно в четыре раза более эффективный по сравнению с обычным способом реализации чисто неявной процедуры на самой мелкой сетке.

17.3.2, Постановка граничных условий

В данном разделе будет рассмотрена постановка граничных условий в переменных 5, -ф. Основное внимание будет уделено построению граничных условий для завихренности на твердой стенке. Однако важной задачей является и правильная постановка граничных условий на входной и выходной поверхностях. Эти граничные условия будут рассмотрены на примере задачи об обтекании уступа.

Как показано на рис. 17.12, граничные условия прилипания на стенке эквивалентны условиям

= 0 = ё (17.101)

Первое граничное условие используется при решении уравнения Пуассона для функции тока (17.92), второе - при построении граничного условия для завихренности. Это будет продемонстрировано для крышки {AD на рис. 17.12). Разложение в ряд Тейлора функции тока относительно точки (/, k) на AD дает