конвективных членов (§ 9.3). В работе [Brooks, Hughes, 1982] такой подход использовался вдоль каждой локальной линии тока, в результате чего удалось избежать численной поперечной диффузии (п. 9.5.3).

Весьма эффективный путь построения точных неосциллирующих при больших числах Рейнольдса конечно-элементных методов основан на том, что осцилляционные ошибки связываются с членами разложения высокого порядка в ряд Тейлора по времени соответствующего метода установления. Такой подход является развитием идей, изложенных в § 9.2-9.4. Данный метод впервые был предложен Бейкером [Baker, 1983]. В дальнейшем этот метод развивался под названием слабая тейлоровская трактовка (TWS) метода Галёркина с конечными элементами [Baker et al., 1987].

Применив метод штрафных функций [Temam, 1968], можно исключить явное наличие давления в уравнениях импульса. В этом методе уравнение неразрывности (17.1) заменяется уравнением

+(#+!-)-< ( -п

где 8 - малый параметр, обычно 10~ 8 10~. Данный подход имеет некоторую аналогию с методом искусственной сжимаемости (п. 17.2.1), но не требует применения метода установления. Уравнение (17.87) в точной или дискретной форме используется для исключения давления из уравнений импульса. В дальнейшем уравнение (17.87) вновь используется для определения давления. Метод штрафных функций широко применяется в сочетании с методом конечных элементов.

Для эквивалентной задачи Стокса, т. е. для уравнений Навье-Стокса без конвективных членов, показано [Baker, 1983], что метод штрафных функций может быть получен из задачи минимизации функционала, в котором одновременно выполняются уравнения неразрывности и импульса. Обобщение на уравнения Навье-Стокса следует из замены вариационной формулировки формулировкой Галёркина (взвешенных остатков) (§5.1).

Использование штрафных функций в методе конечных элементов производится двумя способами. В первом уравнение (17.87) подставляется в стационарную форму уравнений (17.2) и (17.3). Далее к полученным уравнениям применяется метод Галёркина с конечными элементами. Такой подход использовался в работе [Hughes et al., 1979], где для скоростей применялась линейная интерполяция на четырехугольных элементах.

Однако при численном определении интегралов в уравнениях, эквивалентных (17.84) и (17.85), используются квадратуры

Гаусса [Zienkiewicz, 1977]. При определении штрафных членов, заменяющих давление, необходимо использовать квадратуры сокращенного или более низкого порядка. Все остальные члены вычисляются по квадратурам достаточно высокого порядка. В работе [Sani et al, 1981] показано, что использование сокра-

WING FUEL TANK TUNNEL (MESH. VEL.. TEMP.. STRfEAMT

VELOCITY VECTOR PLOT

SCALE FACTOR .3000E+02

MAX. VECTOR PLOTTED .4684E+00

AT NODE 906

SCREEN XMIN -.499Е-Ю0 XMAX .50ie+00

YMIN -ooE+oa

YMAX .497E00

FIDAP 9 Dec 86 10: 07: 47

Рис. 17.11. Естественная конвекция в крыловом трубопроводе горючего, (а) Конечно-элементная сетка; (Ь) контуры температуры; (с) векторы скорости; (d) линии тока ([Engelman, 1982]; публикуется с разрешения Fluid

Dynamic International).

щенных квадратур эквивалентно более низкому порядку интерполяции давления.

Во втором способе -согласованном методе штрафных функций [Engelman et al., 1982] - уравнение (17.87) приводится к дискретному виду в соответствии с обычным методом Галёркина, но для давления и штрафной функции используются интерполяции более низкого порядка. После этого при помощи дискретного представления (17.87) исключается дискретное поле давления в уравнениях (17.84) и (17.85). Для четырехугольных элементов с линейной интерполяцией скорости и постоянным давлением обе формулировки идентичны на дискретном уровне.

§ 17.3. Переменные завихренность - функция тока

Вместо того чтобы решать уравнения в исходных переменных, можно, по крайней мере в двумерном случае, избежать явного наличия давления в уравнениях, если ввести в качестве зависимых переменных завихренность и функцию тока (п. 11.5.1).

В двумерном течении в векторе завихренности

g = rotq (17.88)

имеется лишь одна компонента, которая обычно определяется как

Уравнение переноса завихренности (11.85) с учетом уравнения неразрывности (17.1) может быть записано в виде

iL . IML , AMI L( + ) = o (17 90)

dt дх dy Re \dx дуЧ U/.w;

Применение штрафных функций приводит к сглаживанию поля давления [Sani et al., 1981], хотя может понадобиться и дополнительное сглаживание [Hughes et al., 1989]. Метод штрафных функций обычно значительно экономичнее смешанной интерполяции {u,v,p). При квадратичной интерполяции скорости на элементах с искривленными (для удобства описания нерегулярных областей) границами согласованный метод штрафных функций более точен [Engelman et al., 1982], чем метод сокращенного интегрирования, и лучше обоснован теоретически.

Метод конечных элементов пригоден для разработки универсальных программ расчета связанных задач: течение жидкости и перенос тепла в областях сложной геометрической формы. Примером такой универсальной программы является программа FIDAP (Fluid Dynamic Analysis Program) [Engelman, 1982]. Пример задачи, успешно моделируемой программой FIDAP, приведен на рис. 17.11.

В трубопроводе, проходящем через бак для горючего в крыле, имеются три электрических провода разной температуры. По программе FIDAP рассчитана естественная конвекция воздуха в промежутках между проводами. На рис. 17.11 приведены конечно-элементная сетка, изолинии температуры, векторы скорости и линии тока; число Рэлея равно 800 000. Можно видеть тепловые пики, поднимающиеся от горячей проволоки и отклоняющиеся к холодной. В сетке 2654 узла и 624 девятиточечных четырехугольных элементов.