Рис. 11.13. Невязкое течение у хорошо обтекаемого тела. (11.103) можно получить следующее приближенное уравнение:

где ф - возмущение потенциала, связанное с возмущениями скорости, т. е.

Ф=-их + ф, и = и т. д. (11.108)

За счет учета ограничений в геометрии {t <С с) уравнение (11.107) получилось гораздо проще уравнения (11.103). Многие применяемые на практике аэродинамические профили и лопатки турбин так или иначе соответствуют этим ограничениям. Численные методы решения (11.107) приведены в п. 14.3.2.

Для дозвуковых (Моо < 1) и сверхзвуковых (Моо > 1) течений уравнение (11.107) может быть упрощено и приведено к виду

(- 0 + 0 + = - 01.109)

Уравнение (11.109) линейно и весьма напоминает уравнение Лапласа (11.51), которое описывает несжимаемый потенциальный поток. Для Моо < 1 уравнение (11.109) является эллиптическим, для Моо > 1-гиперболическим; следовательно, на его характеристиках возможно образование разрывов нормальных производных от компонент скорости.

мещенное в поток тело. Определяя

и = и + и\ v = v\ w = w\ (11.105)

где и\ v\ <С Uoo, уравнение (11.104) можно привести к виду

где Мс = t/c /aoo. До тех пор пока Моо < 3, согласно (11.106), а йоо. Используя (11.105) и (11.106), вместо уравнения

Для локально сверхзвукового потока, т. е. М > 1, уравнение (11.103) также гиперболическое. Характеристики в сверхзвуковом невязком потоке называются линиями Маха. Угол [i между поверхностью конуса Маха (образованного линиями Маха) и локальным направлением потока (рис. 11.14) связан с местным числом Маха соотношением = arc sin(l/M), т. е. при увеличении М конус Маха располагается ближе к локальному направлению потока. Любые возмущения в точке А могут влиять

Конус Маха

Uoo -

Рис. 1.14. Линии Маха в сверхзвуковом потоке.

лишь на часть области течения, ограниченной вниз по потоку конусом Маха.

При локальном увеличении М линии Маха, исходящие из двух последовательных точек, при движении от А будут расходиться. При локальном уменьшении М в направлении потока две последовательные линии Маха, казалось бы, могут пересечься. В действительности этого не происходит, а образуется ударная волна, что эвристически может трактоваться как слияние линий Маха. Типичное распределение чисел Маха у крыла самолета (плоское сечение) приведено на рис. 11.15.

Условия на ударной волне, при которых в направлении нормали выполняются законы сохранения массы, импульса и энергии, называются условиями Ренкина - Гюгонио (Liepmann, Roshko, 1957]. Однако при переходе через ударную волну энтропия увеличивается. Соотношения Ренкина - Гюгонио можно представить в виде

t=lr-(+t)/( + lr) <

1 +0.5 (у - I) YMf-0.5(Y-l)

где индексы 1 и 2 относятся соответственно к потоку перед ударной волной и за ней, а i и мг - нормальные к ударной волне компоненты скорости.

Можно отметить, что хотя соотношения Ренкина - Гюгонио связывают два состояния невязкой нетеплопроводной жидкости, ее локальное поведение внутри ударной волны определяется

Моо 0.90

Ударная волна

М<1

М>1

М<1 М<1

Рис. 11.15. Распределение чисел Маха на крыле.

ВЯЗКОСТЬЮ и теплопроводностью (рис. 11.16). Здесь х -местная координата, направленная по нормали к ударной волне. Однако при рассмотрении невязкой нетеплопроводной жидкости сильные

Решение для невязкого течения

Толщина ударной волны

(увеличенная)

Рис. 11.16. Изменение скорости внутри ударной волны.

Градиенты внутри ударной волны обычно можно рассматривать как разрывы, влияние которых не распространяется за пределы скачка.

Если скачки не слабые. Mi 1.1, для правильного описания течений необходимо решать уравнения неразрывности, Эйлера и невязкое уравнение энергии (§ 14.2).

4 К. Флетчер, т. 2