/ + A/(ti.L,-L )]u- = u .

Уравнения (17.25) являются приближенной факторизацией, аналогичной рассмотренной в § 8.2 и 9.5 и позволяющей получить последовательность трехдиагональных систем уравнений, если Lx, Lxx и т. д.- трехточечные конечно-разностные операторы. Года отмечает, что для устойчивости решения необходимо использовать ограничение типа КФЛ на шаг по времени: А/

< A.v/t/max.

Другой вариант реализации метода MAC (17.20) и (17.21) предложен Хиртом и Куком [Hirt, Cook, 1972]. В принятых обозначениях предварительные значения скорости определяются из уравнений (17.2) и (17.3) в виде

u* = F A/VrfP (17.26)

Подстановка (17.23) в уравнение (17.12), записанное в виде VdU + = О, приводит к соотношению

В результате этого и + удовлетворяет как уравнению (17.1), так и уравнениям (17.2) и (17.3). В методе проекции из уравнения (17.22) определяется и*, из (17.24) определяется р + и из (17.23) определяется u. Изначально метод проекции был разработан на неразнесенной сетке. Однако в работе [Peyret, Taylor, 1983] рекомендуется использовать его на разнесенной (MAC) сетке (рис. 17.1). Из уравнений (17.22) и (17.24) видно, что метод проекции совпадает с методом MAC во внутренних точках. Однако граничные условия реализуются несколько по-иному. В работе [Peyret, Taylor, 1983] показано, что в методе проекции решение не зависит от значений и* на границе. Это по существу эквивалентно исключению К/2,2 из уравнения (17.18) после подстановки в него (17.19).

Года [Goda, 1979] использовал метод проекции для расчета вязкого течения в двумерной и трехмерной движущихся полостях. Чтобы избежать явного ограничения на шаг по времени (17.15), уравнение (17.22) заменено уравнениями

/ + A/(mL,-L )]u = u , / + Л/ (vLy-Lyy)]n = и, (17.25)

Поправка к давлению 8р = р + - определяется из уравнения

Эта поправка обеспечивает выполнение уравнения неразрывности при подстановке в него и т. е.

u+i = u*-Vd6p. (17.28)

Наконец, новое значение давления равно

р +1=ргбр. (17.29)

Постановка граничных условий осуществляется, как в методе MAC (п. 17.1.3). Хирт и Кук использовали такой подход для исследования вязких несжимаемых (ламинарных) течений у трехмерных структур.

В работах [Sakamoto, Matuo, 1980; Kato, Murakami, 1986] использовался метод Хирта и Кука для исследования нестационарных турбулентных трехмерных течений, возникающих в задачах вентиляции помещений. Применялась (Л-е)-модель турбулентности (п. 11.5.2). Сравнение экспериментальных и расчетных данных для этой задачи приведено на рис. 17.4. Данные результаты получены на сетке 20(л:)Х 24(у)Х I5(z). Это самая грубая сетка, на которой удалось удовлетворительно получить основное циркуляционное и вторичное течения. Течение вызывается нагнетанием воздуха через крышу. Вдуваемая струя ударяется об пол и вызывает циркуляционное в плоскости симметрии течение у стен (рис. 17.4(a) и (d)). Хорошо моделируется картина вытекания воздуха у пола и крыши (рис. 17.4(c), (е)); хорошо видны возвратные течения, вызванные нагнетаемой струей.

В приведенном выше описании семейства методов MAC предполагалось, что границы расчетной области совпадали с декартовыми координатными плоскостями. Для расчетных границ произвольной формы можно ввести связанные с границами криволинейные координаты (гл. 12), преобразовать уравнения к криволинейным координатам и применить метод MAC в регулярной расчетной области.

В работе [Patel, Btiggs, 1983] применен метод MAC в первоначальном явном варианте для расчета в криволинейных координатах задачи о естественной конвекции в нестационарном двумерном ламинарном течении. Использовалась разнесенная сетка, на которой контравариантные компоненты скорости (12.65) определялись на границах ячеек, а давление-в их

центрах. Поскольку в эквивалентном (17.13) уравнении появляются производные от давления и р, для вычисления этих производных по значениям в соседних точках использовались две перекрывающиеся сетки. Это приводит, однако, к тому, что

Иллюстрирующая плоскость

Горизонтальная проекция типа 1 (е)

Эксперимент (а) {ty + M/)-nnockoctb

Моделирование (а) И/)-плоскость

< ♦ f

Эксперимент (Ь) (ty+W)-плоскость

J и W W ......L

v 4 ♦ 4 ♦ ►

rtf . vvv.......

Поперечное сечение типа 1

г:::ч

Моделирование (Ь) И/)-плоскость

(d) (\/+ -плоскость

... к .

* * * *о

t 1 * t Y

Эксперимент ic) V )-плоскость

i П 4- l ш Li

Моделирование (с) (U+V)-плоскость

(е) (и + V) J-плоскость

Рис. 17.4. Моделирование вентиляции комнаты ([Kato, Murakami, 1986]; печатается с разрешения Japan Soc. of Сотр. Fluid Dynamics).

система уравнений Пуассона, эквивалентная (17.13), в два раза больше, чем в случае применения метода в декартовых координатах.

17.1.5. Разности высокого порядка против потока

В первоначальном методе MAC используются центральные конечно-разностные формулы (17.7). Для течений, в которых основную роль играет конвекция, использование центральных