Рис. 17.2. Задача о падающей капле ([Harlow, Shannon, 1967]; печатается с разрешения American Association for the Advancement of Science).

G/. + = V], k+\l2 + At +

ReAA;2

(/. fe+3/2 /. fe-H/2 + fe-1/2}

ReAi/2

{()/-H/2. fe-H/2 - ()/-l/2, fe-H/2} (4fe-H 4 fe)

(17.11)

В уравнениях (17.8) и (17.10) давление р входит неявно; однако р+ определяется до решения (17.8) и (17.10) следуюш.им образом. Уравнение неразрывности (17.1) записывается в разностном виде

{ тг + \ ,. + 1 \ + r. + l

D- = v /+i/ ~ /-lA fei I v/. fe-n/2 i,k-\i2) (17 12)

где D/,/г - дилатация в ячейке (/, й).

Подстановка 2, а; уравнений (17.8) и (17.10) позволяет представить (17.12) в виде разностного уравнения Пуассона для давления, т. е.

Аа;2 Аг/2 J

{?+1/2,fe--/-i/2. k) , {tk+m-lk-m) 1 /17 1

-А-х-+--STy-J

Если для выражения различных членов в правой части (17.13) использовать формулы (17.9) и (17.11), результат может быть представлен в виде

RHS ,3) ==4г- - [..4 . + 2.. ()/. k + . -

- (1/Re) {L + L }Dy r, (17.14)

(UV)fk = {{UV)j+\f2, k + l(2 - {uv)i-1(2, k + l/2 - {uv)i+ 1/2, k-\!2 +

+ {uv)i-M2, к-ш}/Ах Ay.

Величину D/, fe/A в (17.14) можно интерпретировать как дискретизацию - (9D/(9/д при D.V = 0. Таким образом, сходящееся решение для давления, полученное из (17.13), приводит к выполнению дискретного уравнения неразрывности в момент времени

Уравнение (17.13) решается на каждом шаге по времени либо итерационными методами (§ 6.3), либо прямыми методами решения уравнения Пуассона (п. 6.2.6). После того как р+ получено из решения (17.13), подстановка этого значения в уравнения (17.8) и (17.10) позволяет определить +1/2 k

/,fe + l/2-

Поскольку выражения (17.8) и (17.10) являются явными формулами для определения и v-\ имеется ограничение

на максимальный шаг по времени, связанное с устойчивостью решения [Feyret, Taylor, 1983]:

0.25 (I I + I у I )2 Л/ Re < 1 и A (Re Ал:) < 0.25. (17.15)

Здесь предполагается, что Ал: = Ау.

Для решения уравнения (17.13) необходимо поставить граничные условия для р (условия Дирихле) или для производных от р (условия Неймана) на всех границах. Для течения за уступом (рис. 17.14) на AF и АВ следует задать граничные условия Дирихле, а на границах FE, ED и DC - условия Неймана. Обычно для постановки граничных условий Неймана используется дискретное представление уравнений импульса. Для границ, подобных FE, где первоначальное направление потока параллельно поверхности, приближение пограничного слоя др/дп = О может быть использовано в качестве соответствующего условия для р, если велико число Рейнольдса Re.

Для внутренних течений граничные условия Неймана для давления часто задаются на всех границах. В этом случае необходимо выполнение глобального граничного условия (как в п. 16.2.2), т. е.

где интеграл по с вычисляется вдоль границы расчетной области. Левая часть уравнения (17.16) в дискретном виде вычисляется через правую часть (17.13).

Если дискретное представление уравнения (17.16) в сочетании с методом MAC записывается для внутренней ячейки (например, ячейки /, k на рис. 17.1), уравнение выполняется точно, если др/дп в правой части (17.16) вычисляется через уравнение импульса. Если (17.16) применяется ко всей расчетной области, необходимо глобальное выполнение закона сохранения массы, т. е. выполнение условия (17.14), а производная др/дп на границе должна определяться из уравнений импульса или, там где это возможно, следует полагать др/дп = 0. Способ определения др/дп на границе из уравнений импульса должен быть совместим с внутренней дискретизацией.

Невыполнение условия (17.16) приводит к очень медленной сходимости решения уравнения (17.13) или может привести к его расходимости. Даже при выполнении (17.16) введение граничных условий Неймана для давления приводит к замедлению сходимости итераций, если на всех границах заданы граничные условия типа Дирихле.