16.2. В ортогональной системе координат несжимаемые уравнения Навье - Стокса имеют вид

.(М) + (Л1У) = 0,

дх ду

и ди , V ди , , I др 1 Г72 л

hi дх h2 ду hi дх Re

и dv , V dv 9 , , I dp 1 2 n

- --h-r---uKi2 + uvK2\ +-7-3---- у2у = 0,

hi dx h2 dy h2 dy Re

dx \hi dx ) dy\h2 dy J

1 dhl ; 1 dh2

hih2 dy hih2 dx

Предполагая, что hi, /12, Ki2 и /С21 порядка 0(1) и w > и, проведите анализ сравнения порядков величин и выведите следующую укороченную форму уравнений:

А(л, ) + -(л, )=0. и du . V du . . \ dp 1 d { hi du \

и dv . V dv >t X x л

16.3. Опишите и обсудите зависимость Т от .Jf, задаваемую уравнением (16.20), в случаях

1) W, у 1, 8, б малы;

2) W 1, и мало, е, б малы;

3) и мало, у 1, 8, б малы;

4) и мало, и 1, 8 мало, б велико;

5) и мало, и 1, 8 1, б = 0.

16.4. В несжимаемом ламинарном течении около пластины, параллельной потоку, др/дх О вдали от передней кромки. Проведите анализ Фурье уравнений

1) (16.1)-(16.3) с dpidx, отброшенной в (16.2);

2) (16,4)-(16.6) с dpidx, отброшенной в (16.5).

Обсудите характер поведения решения в связи с эллиптичностью или неэллиптичностью уравнений.

16.5. Иногда для устойчивости расчетов в правую часть (16.30) добавляется член гд/ду. Здесь 8 - положительная малая эмпирически подбираемая константа. Примените анализ Фурье к модифицированной таким образом системе (16.30)-(16.32). Определите, будет ли поведение решения в этом случае отличаться от поведения, определяемого выражениями (16.37) и (16.48).

16.6. Получите решение по программе THRED при МЕ = 2 в случаях

1) Ал: = 0.20, Ai/ = 0.20;

2) Ajc = 0.05, y = 0.20;

3) А;с = 0.05, At/= 0.10;

4) Ал: = 0.01. Ar/ = 0.20.

Сравните точность полученных решений у центральной линии с точностью, полученной по программе RED-FEM и ADIFEM (табл. 16.3). Сравните вычислительную эффективность (§ 4.5) путем приблизительного подсчета числа операторов и (или) прямого измерения времени CPU.

Внутренние течения (§ 6.2)

16.7. Введите расщепление давления (16.54) и покажите, что др/дх в уравнении (16.52) порядка 0((6/L)2). Предварительно имеет смысл рассмотреть порядок др/ду в уравнении (16.53).

16.8. После введения расщепления давления (16.54) и отбрасывания др/дх в (16.52) используйте анализ Фурье (п. 16.1.2) для доказательства того, что устойчивое решение системы (16.51)-(16.53) может быть получено за один маршевый проход вниз по потоку.

16.9. Покажите, что уравнение (16.60) может быть получено из дискретного представления уравнения (16.55).

16.10. Примените анализ Фурье (п. 16.1.2) к системе уравнений (16.80)- (16.83) при постоянном значении р и покажите, что в направлении х можно ожидать экспоненциальный рост решения. Введите вязкое расщепление давления (16.84), опустите член др/дх в (16.81) и покажите, что для этой системы устойчивое решение может быть получено за один маршевый проход вниз по течению.

16.11. Покажите, что замена fa в (16.96) наиз (16.98) удовлетворяет условию (16.97).

16.12. Используйте анализ Фурье (п. 16.1.2) для вывода уравнения (16.120) из системы (16.113). (16.114), (16.116), (16.118) и (16.119). Получите эквивалентный (16.120) полином, если (16.116) не вводится в (16.113). Как это повлияет на устойчивость решения за один маршевый проход?

16.13. Чтобы убедиться, что = О на стенке с постоянным значением у, получите выражение для Qi, /, эквивалентное (16.130).

Внешние течения (§ 16.3)

16.14. Рассмотрите приближение подслоя в декартовых координатах при условии постоянства полной энтальпии (16.181). Уравнения имеют вид

Щх + УРг/ + pwjc + 9 у == О, ди , ди , др 1 ди

dv dv 1 дЧ - 1л,ч

рм- + ру----Re ~ уравнение (16.181).

Примените анализ Фурье для вывода характеристического полинома

р (фЛ+4-) [( - )4-(Y+l) t>a,a,-Y.4 + -(7)4] = 0.

где А = иОх + vGy. Покажите, что при положительном и первый множитель не приводит к экспоненциально нарастающему решению. Покажите, что если пренебречь последним членом во втором множителе, то можно получить устойчивое в направлении х решение.

Y л: у дх ду У дх

до , dv . dv (у - I) f ди , dv \

со--+ ри ---Ь pv ---(D -- ( ри -г--h рУ I == 0.

у ду дх ду у V ду ду J

Используйте анализ Фурье для вывода следующего характеристического полинома:

{UG + VGy) {gI ( 2 - + GGyUV [(у -f 1) - (у - 1) СО] +

+ 4 [Y - (Y - 1) СО] - асо}) = 0.

Покажите, что если и О, то никакой выбор со не позволит избежать экспоненциального роста решения по х при и <С а.

16.16. Укороченные несжимаемые уравнения Навье -Стокса могут быть решены методом, подобным итерации по времени, если записать их в виде

fL+L = o,

дх ду

ди ди , др др 1 дЧ dv . dv . dp 1 d

где член адр/dxdt введен для устойчивости подобных по времени итераций давления. Примените анализ Фурье и покажите, что итерации, подобные итерациям по времени, будут устойчивы, если а больше нуля.

16.17. Покажите, что уравнение (16.184) может быть получено из уравнений (16.178), (16.180) и (16.181).

16.18. Проведите разложение в ряд Тейлора уравнений (16.191) в окрестности узла (/, k-\/2), (16.192)-в окрестности узла (и k) и (16.193) - в окрестности узла (/, -1/2), Покажите, что порядок аппроксимации всех трех уравнений 0(ts.x, Ау).

16.19. Выведите уравнение (16.197) из несжимаемого уравнения неразрывности и определения толщины вытеснения (11.67). Какое уравнение будет эквивалентно данному в случае сжимаемых течений?

16.20. Выведите уравнение (16.223) из уравнений (16.220) и (16.221) и получите явные выражения для =0 = Ь 2, 4.

16.15. Для дозвукового невязкого течения весовой метод Виньерона, примененный к др/ду, позволяет вместо системы (16.156) -(16.158) получить

(?р , (?Р , ди , dv дх ду дх ду др ри ди ди (Y - П dv