в исходных переменных эквивалентным уравнением на FEDC будет и = V = 0. Граничные условия для завихренности на твердой поверхности обычно получаются из уравнения (11.86) или (11.88). Так, например, поскольку dv/dx = 0 на FE, граничное условие для завихренности принимает вид: t,FE = = ди/дурЕ\ на DE: t,DE = -йу/йа:£)£. Как уже отмечалось, данные

Ai-\В

Рис. 11.12. Течение у уступа.

граничные условия не являются строго эквивалентными условиями для скоростей.

В принципе описание в терминах завихренности может быть использовано и в трехмерном случае. Завихренность тогда имеет три компоненты, а функция тока заменяется на трехмерный вектор-потенциал [Fasel, 1978]. Последние применения такого подхода описаны в работе [Wong, Reizes, 1984]. Формулировки в терминах завихренности, пригодные для рассмотрения трехмерных течений, кратко описаны в § 17.4.

Для определения давления из d(U.83)/дх + д(11М)/ду можно получить уравнение Пуассона

дх -

(11.91)

С граничными условиями Неймана для Р, определенными из (11.83), (11.84).

Для стационарных течений уравнение (11.91) достаточно решить один раз после того, как будет получено решение для if). В нестационарном случае, как, например, в задачах со свободной поверхностью, для определения давления уравнение (11.91) необходимо решать на каждом шаге интегрирования по времени.

Численные схемы, основанные на формулировке завихренность- функция тока, рассматриваются в § 17.3 и 17.4.

11.5.2, Турбулентные течения

Использование в инженерных разработках трехмерных аналогов уравнений (11.82) - (11.84) для расчета несжимаемых турбулентных течений привело бы к непомерно большим затратам. Для практических целей, как правило, достаточно знать осредненные характеристики движения, которые могут быть получены путем осреднения уравнений по некоторому малому интервалу времени Т (подобно тому, как это сделано в п. 11.4.2). В результате осреднения получается следующая система уравнений:

дй дх

+ = 0,

ду д Г

ди . - дй . . ди! . др

ди --/

дх д

dv , - dv + v

dp d

dy i dy

dy L

du --

dx д Г

- 9Vv

(11.92)

(11.93)

(11.94)

где йу V - средние значения скорости, а и и у -турбулентные флуктуации. В трехмерном случае в уравнениях, аналогичных (11.93), (11.94), появляются дополнительные рейнольдсовы напряжения -9Uw\ -pvw и -pww,

В полученных таким образом осредненных по времени уравнениях необходимо установить связь между напряжениями Рейнольдса и осредненными параметрами течения. В п. 11.4.2 это было сделано путем введения дополнительной вязкости vr (полагая -puv = pvidil/dy) и определения алгебраической формулы для Vr. Такой подход, однако, эффективен лишь для течений в пограничных слоях, где скорость выделения турбулентной энергии примерно равна скорости ее диссипации. В более сложных турбулентных течениях, где существен конвективный перенос турбулентности, этот подход может оказаться неэффективным.

Другой подход состоит в выводе уравнений (дифференциальных) переноса некоторых турбулентных величин и моделировании членов более высокого порядка, которые оказываются равными тройным корреляциям. Здесь приводятся так называемая (k - е)-модель [Launder, Spalding, 1974], типичная модель турбулентности, основанная на двух уравнениях.

В {k - 8)-модели выводятся уравнения для турбулентной кинетической энергии k и скорости диссипации турбулентной энергии е:

k = 0.5 +Vv + u/w) = 0.5

e = vr

Уравнения для кие имеют вид

Dk d [lij.

Dt dx, cr dx

dk 1

De д Г lij.

PdT----

f J de 1

cr dx

V du

du 1 (5w

(11.95)

duj 1 du,

(11.96)

Здесь для удобства записи использованы тензорные обозначения в декартовых координатах [Aris, 1962]. Левые части (11.95) и (11.96) представляют аналогично уравнению (11.12) конвективный перенос соответственно величин k и г. Три члена в правой части уравнений описывают диффузию, выделение и диссипацию соответствующих величин. Данные уравнения выведены из нестационарных уравнений Навье - Стокса, в которых сохранены диффузионные члены, но отброшены члены, соответствующие вязкой диссипации, а также произведена модификация некоторых других членов.

Локальная (турбулентная) вихревая вязкость [it может быть выражена через локальные значения k и г следующим образом:

x, = . (11.97)

Эта вязкость используется для связи рейнольдсовых напряжений, например в уравнениях (11.93) и (11.94), со средними значениями:

+

(11.98)

\ dXf dxi J

Эмпирические константы в уравнениях (11.95) -(11.97) равны С = 0.09, Cei = 1.45, Се2=1.90, а;=1.0, ае=1.3. (11.99)

Уравнения (11.95) и (11.96) справедливы при 1Хт[л. Очевидно, что это неверно вблизи твердой поверхности, где турбулентные флуктуации подавляются стенкой. Поэтому вблизи твердой поверхности вводятся специальные пристенные функции [Launder, Spalding, 1974; Patel et al., 1985], при определении