Два случая со < сосг и со > сосг представляют интерес, поскольку они соответствуют неэллиптическому и эллиптическому поведениям невязкой системы (16.156) -(16.158) при v=0 относительно маршевого направления х.

При (О < (Осг из (16.170) следует, что

=Fa/2(l -Я) = /е, (16.171)

где а=[1 +(у- ) Щ]{сг) Следовательно,

--(ГТ 2)-. (16.172)

Поскольку % - комплексная величина, условие (16.167) удобно рассматривать в виде ЯЯ1.0, из которого следует

а + 82

1. (16.173)

Поскольку а - положительная величина, а е - вещественная, из условия (16.173) не следует никакого ограничения на е и, следовательно, - на Ах. Таким образом, в неэллиптическом случае (О < (Осг нет ограничений на Ах. Если бы вместо разностного представления (16.162) - (16.164) использовались явные аппроксимации пространственных производных, можно было бы ожидать появления условия устойчивости вида Ал: < (Ах) max (§ 9.1). Однако данное условие связано с численной схемой, а не с характером уравнений.

При (О > (Осг из (16.170) следует

4=а/2(1 -Я) = 8, (16.174)

где а [1 4- (y - 1) М] (со - со.). Следовательно,

Из условия А, <; 1.0 следует, что е > а/. Из условия %> -1.0 следует, что е > 2а/2 или (Ax/Ay)sin 9 cos 9 > a}f. На конечной сетке Omin = Ауя/утах sin 9, а cos 9 1. Таким образом.

Ах > а/2утах/я, ИЛИ

> {[1 + (Y - 1) М] (со - сосг)} , (16.176)

Де Ушах - поперечный размер расчетной области. Из условия (16.176) следует, что если уравнения эллиптические, то существует ограничение на шаг вида Ах > (Ax)irin, где (Ах)mm про-лорционально степени эллиптичности. Если величина (Ax)min слишком велика, точное решение за один маршевый проход по пространственной переменной получить нельзя.

Зависимость (Ajc)min от утах аналогична найденной в работе [Lubard, Heiiiwell, 1974] для дозвукового подслоя в сверхзвуковом течении. Однако, как правило, t/max в (16.176) значительно больше f/si на рис. 16.17. В работе [Rubin, Lin, 1980] получено ограничение вида Аде > /гутах для несжимаемых течений. Рубин [Rubin, 1981] полагает, что {Ах) ты требуется для преодоления влияния вверх по потоку, присущего основным уравнениям.

Из приведенного анализа, а также из работы Рубина [Rubin, 1984] и цитированных в ней работ следует, что при решении эллиптических уравнений маршевым методом за один проход появляется условие устойчивости вида Ах > (Аде) min, где (Ax)mjn пропорционально степени эллиптичности. Доказательство данного утверждения в общем случае, однако, не проведено.

Как отмечалось выше, чтобы получить точное решение задачи о внешнем дозвуковом обтекании, необходимо осуществить повторяющиеся (итерационные) маршевые проходы в направлении течения. Приближение Виньерона в такую итерационную схему можно включить следующим образом. Уравнение (16.157) заменяется уравнением

где (О выбирается в соответствии с условием (16.153). Член в правой части (16.177) вычисляется как нижнерелаксационная комбинация предыдущих итераций или берется с внешней границы вязкой области.

Решение чисто невязкой задачи, как правило, может быть получено более экономным образом (§ 14.1 и 14.3), чем решение эквивалентной вязкой задачи. Следовательно, более эффективно проводить решение дозвуковых RNS-уравнений от твердой поверхности до точки, где вклад вязких членов в RNS-уравнения пренебрежимо мал. Вне этой области течение считается чисто невязким и для решения можно использовать панельный метод (§ 14.1) или метод полного потенциала (п. 14.3.3). На каждой итерации невязкая задача решается во всей невязкой области, а для RNS-уравнений осуществляется один маршевый проход.

Если вязкая (RNS) область сравнительно тонкая в поперечном направлении, для аппроксимации правой части (16.177) можно использовать значение {др/дх) с внутренней границы невязкой области. Такая итерационная схема будет описана ниже. Другой способ, при котором используются локальные значения др/дх с предыдущих итераций, будет описан в п. 16.3.3.

Решение дозвуковых RNS-уравнений более удобно проводить, если ввести в них давление р. Система (16.156) -(16.158)

в ЭТОМ случае заменяется эквивалентными уравнениями

д{ри) . d(f)v) дх ду

(p )+(p 4-rt-J} = 0.

р = р/

(16.178) (16.179) (16.180) (16.181)

где все сгруппированные члены в (16.179) и (16.180) обезразмерены на 9i{Uif. Тогла p J = pi/pi{Uiy=l/\N[l откуда следует несколько отличающееся от (16.29) уравнение (16.181).

Для рассматриваемой задачи вводятся следующие обозначения. На сетке, изображенной на рис. 16.21, строится маршевый

-к+1

-к-1

J-J J J+J

Рис. 16.21. Сетка для двумерных дозвуковых RNS-уравнений.

(по л:) алгоритм, в результате чего получается решение на слое Х/ч-!. Полный маршевый проход составляет {п+ 1)-ю итерацию. На каждом слое x/i решение в поперечном направлении (и, v, Р> рЬ+ь k получается последовательно. Обозначения, приведенные на рис. 16.21, не совпадают с обозначениями, использованными в п. 16.2.3 и 16.3.1, где индекс п обозначал положение вниз по потоку.

Уравнение (16.179) используется для определения В разностной форме оно имеет вид

{(Р )/-Ц, k - (Р)/. k} {(Р)/+1/2. - (Р)/ + 1/2. k-l} .

Ах 2Ау

-{Pf, , - J/Ax - (1 - CD) 0.5{р;.Д , - }/Ax. (16.182)