+ I ( 2 2) il IJ р ( + - S-J = 0. (16.159)

Течение вдали от тела, помещенного в однородный поток, ведет себя, как невязкое. В дозвуковом невязком течении эллиптический характер уравнений отражает физическую роль давления, обеспечивающего распространение возмущений вверх по потоку.

Следовательно, даже если применить метод Виньерона, который стабилизирует каждый маршевый проход вниз по потоку, для получения правильного решения необходимо проводить повторные (итерационные) маршевые проходы по пространственной переменной. При этом решение, полученное за один проход, довольно точно. Следовательно, если повторяющиеся маршевые итерации устойчивы, для получения решения достаточно нескольких итераций.

Для дозвуковых течений без внешнего подвода тепла температурные изменения сравнительно невелики, и достаточно точное решение можно получить, если уравнение энергии заменить условием сохранения полной энтальпии (11.104). Для двумерного дозвукового вязкого течения RNS-уравнения с учетом приближения Виньерона имеют вид

+ P - + P t-( lF + P -F)-k0.

(16.157)

до (v-1) ди , dv , pv dv 1 дЧ /, ,са\

Здесь давление приведено к безразмерному виду с помощью значения ppjpJJl.

В выписанных уравнениях условие постоянства полной энтальпии в сочетании с уравнением энергии использовано для исключения давления из уравнений импульса. Уравнения (16.156) -(16.158) при (0=1 совпадают с (16.30) -(16.32). Как и в п. 16.3.1, для определения ограничения на со, при котором возможно устойчивое маршевое решение в направлении потока, будет использован анализ Фурье.

Для р, w и у в уравнениях (16.156) -(16.158) вводится комплексное представление Фурье (см. п. 16.1.2). Это позволяет получить уравнение для собственных значений а:

+ +9lLyvr=0, (16.162)

I-j, -Чг + р )/-47- = 0 (16.163)

1 рГ -(р )? МГ +(р )? ° = о, (16.164)

= I1-co(y-1)/y]. p = p(y-1)/y. Lyil о, -lV/2/S.y,

Второй множитель связан с оператором конвективной диффузии, как и в уравнении (16.34), и позволяет получить устойчивое маршевое решение за один проход, если и больше нуля. Весовой параметр Виньерона со появляется в первом множителе (16.159). Основное внимание будет уделено невязкому случаю (Re--cx)) при v=0. Первый множитель дает корни

(,!.!), ( 6.160)

Чтобы избежать появления корня Ох со знаком минус при мнимой части, необходимо, чтобы выполнялось условие

со<---г. (16.161)

Как и следовало ожидать, это условие совпадает с условием (16.153), поскольку в невязком случае уравнение (16.151) эквивалентно условию постоянства полной энтальпии. Использование других зависимых переменных не влияет на результат анализа Фурье.

Если Мл; 1, условие (16.161) не приводит ни к каким ограничениям. Однако, если Мл: < 1, из (16.161) следует, что член (1-(о) др/дх может быть исключен из уравнения импульса в направлении потока. Таким образом, для дозвукового обтекания изолированного тела использование условия (16.161) в большей части расчетной области является большим приближением, чем в дозвуковом поверхностном слое в сверхзвуковом течении..

Анализ Фурье (п. 16.1.3) очевидным образом связан с анализом устойчивости Неймана дискретных уравнений (§ 4.3). В связи с этим возникает интересный вопрос: имеется ли условие устойчивости, аналогичное (16.161), на размер шага по маршевой переменной для разностного представления уравнений (16.156) -(16.158).

Для точки течения, в которой у = О, полностью неявное дискретное представление невязкой формы уравнений (16.156) - (16.158) может быть записано в виде

индексы ПИ] соответствуют направлениям х и у. Для проведения анализа Фурье системы (16.162) - (16.164) уравнения линеаризуются, для чего замораживаются множители при разностных выражениях производных, для которых вводится комплексное представление Фурье по направлению у. Таким образом,

Py+p+V (16.165)

где, как и в п. 9.2.1, в = тяАу. После введения аналогичных представлений для и и v получается следующее матричное представление:

A?+ = Bq ,

(16.166)

где qi

- и р рог-

. aa/v -арн рм.

р ри

О ры J

Все элементы матриц А и В определяются в точках х , у,-, а а = = i(Ax/Ay)sm 29.

Для устойчивости системы (16.166) необходимо, чтобы собственные числа удовлетворяли условию

1 - coctVP

(Y- l)pM(oV

YMfi)(Oj

(16.167)

(16.168)

7р- (Y-l)M.y ) ), -р-

со= 1 - о)(у-1)/y. = + yNilmti, ©i = (l/cDcr - l/co), >cr = YM2/[l+(y-l)m],

т. е. совпадает с (16.161). После введения величины т=1-Я для собственных чисел матрицы А-В получается уравнение

т(рт2-2а2т + а2) = о.

(16.169)

Далее, подставляя выражение для р и введя обозначение = = -= (Дд; sin 20/Лг/), это уравнение можно привести к виду

[ 1 + (Y - 1) Ml] (ю - юсг) = (т - 1). (16.170)