где направленная по потоку компонента завихренности Qi равна

й1 = (МзГ {§[hs{W + w)]-j[hAV + v)]), (16.119>

В декартовых координатах это выражение сводится к формуле (16.105).

Если уравнения (16.116), (16.118) и (16.119) подставить в (16.113) и провести анализ Фурье уравнений (16.113) и (16.114) (см. п. 16.1.2), то получится полином

{о1 + al) (йог, + va + ша, - ;i±) = 0. (16.120)

При положительном значении и ни один из множителей не дает мнимого корня со знаком минус. Следовательно, маршевое решение в направлении х будет устойчивым.

На практике уравнения для поперечных составляющих импульса (М2 = О и Мз = 0) не решаются непосредственно. Вместо этого рассматриваются их следующие комбинации (в декартовых координатах):

дМ2 дМг л дМ2 . Мз ПАЮП

дг ду ду дг iio.izi;

Первое уравнение сводится к уравнению переноса для Qi:

Второе из уравнений (16.121) сводится к уравнению Пуассона

+ = - *) - *) (16-123)

для поперечной поправки давления

Р-Р-Рс/г (16.124)

Численное решение уравнения (16.123) осуществляется так же как и уравнения (16.99). Давление на центральной линии определяется из ограничения на поток массы (16.90) по формуле (16.92). В описываемом методе не делается никаких дополнительных предположений для определения давления по формуле расщепления (16.124).

После подстановки вихревых компонент скорости, определенных выражениями (16.107), в уравнение (16.119) для г> получается уравнение Пуассона (в декартовых координатах)

дЦ , о dV , dW

д + дг---Ж + дГ (16.125)

Для аппроксимации дV/дz\w в (16.129) можно использовать одностороннюю трехточечную конечно-разностную формулу (гл. 3). На стенке г)/, = 0. Уравнение (16.128) используется .для определения значения г)/, -i в (16.129), т. е.

-------2[Vi,k+--д.

(16.130)

Равенство (16.130) обеспечивает выполнение условия непротекания для компоненты v на стенке с постоянным значением г. Можно получить эквивалентное выражение, обеспечивающее выполнение условия w = О на стенке с постоянным значением у. Аналогичные выражения могут быть получены в ортогональных координатах. Значения ф берутся в известных точках х -.

Различные уравнения приводятся к дискретному виду так JKe, как в п. 16.2.2. Поскольку приближение малости потенциала (16.111) позволяет получить неэллиптическую систему, решение, как и в п. 16.2.2, может быть вычислено за один маршевый .проход в направлении течения. В каждой точке, расположенной

Чтобы обеспечить выполнение условия прилипания v = = w=0, следует, используя разложение (16.103), связать уравнения (16.122) и (16.125) путем задания определенного значения Ql на стенке. Решения уравнений (16.114) с условием дф/дп = О на стенке и (16.125) с условием г) = О обеспечивают обращение в нуль нормальной составляющей скорости. На стенке при постоянном значении z (£ на рис. 16.15) касательная скорость равна

Завихренность на той же стенке

При конечно-разностной аппроксимации (подобно используемой в п. 16.2.2) выражение (16.126) преобразуется к виду

И. * + 2ly-- + = О 128)

где точка (у, k-1) лежит за пределами расчетной области. Уравнение (16.127) записывается в следующем разностном виде:

ВНИЗ ПО потоку, решение определяется следующим образом. Сначала уравнения (16.122) и (16.125) решаются как связанная система. При этом вместо (16.88) и (16.89) получается (2Х2)-блочно-трехдиагональная система уравнений. Для решения используется алгоритм, описанный в п. 6.2.5. Если уравнения (16.122) и (16.125) решать последовательно как скалярные уравнения, граничное условие (16.130) привело бы к очень сильному ограничению на размер шага по оси. При дискретизации (16.122) значения конвективных множителей и, v и w берутся со слоя

Уравнение Пуассона для поправки давления решается так же, как и уравнение (16.99). Значения членов в правой части берутся со слоя A: за исключением и ш, которые определяются через из (16.107). Уравнение (16.113) для

компоненты Mi и ограничение на поток массы (16.90) решаются итерационно, как в п. 16.2.2, в результате чего определяются значения и и В комбинации с решением для поправки

к давлению р полное давление определяется из (16.124). Наконец, из решения уравнения неразрывности определяется ф+\ значение vj -по формулам (16.107).

В работе [Briley, McDonald, 1984] приведены соответствующие уравнения, описывающие сжимаемые вязкие течения в ортогональных системах координат. В этой же работе обсуждается предшествующая маршевому решению вниз по потоку специальная итерационная процедура измельчения шага, позволяющая получить согласующиеся со схемой начальные условия. Это устраняет развитие нефизических осцилляции вниз по потоку.

Типичные результаты расчета течения в канале квадратного сечения, ось которого разворачивается на 90 вправо, приведены на рис. 16.16. Радиус поворота R/Dh = 2.3. Изображено шесть сечений, значение 90° соответствует концу поворота. Внутренняя сторона изгиба находится справа. Число Рейнольдса: Re = 790 (рис. 16.7), толщина пограничного слоя в начале поворота 8/Dh = 0.4.

Решение симметрично относительно оси г, поэтому ячейку вращающейся жидкости следует отразить относительно прямой линии у = 0. При прохождении поворота эта ячейка смещается к внутренней стенке. Максимум поперечной скорости равен 0.73 и достигается при угле 60°. Сильное вторичное поперечное течение связано с существенным поперечным градиентом давления dp/dz. Подобные течения не могут быть рассчитаны на основе расщепления давления, описанного в п. 16.2.2. Для расчета таких течений пригодны методы, которые будут описаны