Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

дх ду

ди X ди ди , др 1 \дЧ , дЧЛ ...

dv , dv , dv . dp I [dv , dv ...

Idx дуЧ

Здесь плотность включена в число Рейнольдса. Обобщение на случай трех пространственных переменных достаточно очевидно. Решения схемы (11.83) -(11.84) при малых числах Рейнольдса (Rec<;200) описывают ламинарные течения, которые рассматриваются в п. 11.5.1.

Однако при больших числах Рейнольдса течения становятся турбулентными. Система (11.82) -(11.84) в трехмерном случае пригодна для описания и таких течений, однако при реальных числах Рейнольдса для точного отображения наиболее мелких масштабов турбулентности потребовались бы неприменимо густые сетки. Более широкое распространение суперкомпьютеров (гл. 1) вызвало интерес к моделированию крупных вихрей [Rogallo, Moin, 1984], при котором модифицированная трехмерная форма уравнений (11.82) - (11.84) непосредственно улавливает крупномасштабные турбулентные движения (вихри), а мелкомасштабная (подсеточная) турбулентность моделируется путем введения дополнительных эмпирических членов в уравнения движения.

Если осредненное крупномасштабное движение является стационарным или слабо изменяется со временем, то для инженерных расчетов более предпочтительным (т. е. более эффективным с вычислительной точки зрения) является рассмотрение осредненных по времени уравнений, а не системы (11.82) - (11.84). Данный подход рассматриватся в п. 11.5.2.

Методы расчета течений, описываемых полной несжимаемой системой уравнений Навье - Стокса, рассматриваются в § 17.1 и 17.2. Если в потоке имеется доминирующее направление те-

рассматривать как локально невязкое и на выходной границе достаточно поставить лишь одно граничное условие. Различные постановки граничных условий рассматриваются в § 17.1, ас математической точки зрения в работах [Oliger, Sundstrom, 1978; Gustafsson, Sundstrom, 1978].

Полная система уравнений (11.81) должна рассматриваться, если в потоке образуются области отрывных течений. В случае отсутствия массовых сил система (11.81), как и (11.42), в безразмерном виде в двумерном случае в декартовых координатах имеет вид

+1 = 0, (11.82)



+ -+ ---dT i: + lJ. (11.85)

dt дх ду Re где С - завихренность:

Строго говоря, = -х, где S = rotv. Введя функцию тока -ф:

после подстановки и и v в (11.86) легко получим

у2яр = ?. (11.88)

Можно отметить, что яр автоматически удовлетворяет уравнению (11.82). В формулировке завихренность -функция тока основными являются уравнения (11.85), (11.87) и (11.88). Исключение и и V при помощи (11.87) дает систему уравнений (11.85), (11.88), которая является параболической по времени и эллиптической по пространству (§ 2.1). Начальные условия определяются путем задания t, = t,o{x, у, t) и решения уравнения (11.88) для if с граничными условиями Дирихле с = а на границе области с.

Поскольку система уравнений эллиптическая в простран-<тве, для ее решения необходимо задать два граничных условия. Если на границе заданы компоненты скорости, эти граничные условия определяют посредством (11.87) производные Ф на границе. В уравнения входят лишь производные от ф), поэтому значения -ф могут быть фиксированы на границе и два

чения, возможно некоторое упрощение исходной системы. Данный подход рассматривается в § 16.1, а соответствующие вычислительные алгоритмы - в § 16.2 и п. 16.3.3.

1L5J, Ламинарные течения

Несжимаемые ламинарные (вязкие) течения описываются системой уравнений (11.82) -(11.84). Однако в двумерном случае имеет смысл рассмотреть иное представление, а именно в терминах завихренности и функции тока -ф.

Уравнения строятся следующим образом:

[(11.83)]-[(11.84)],

что позволяет исключить давление и получить



\\lyxdxdy=\[b-a ds, (11.90)

тле а И Ь соответствуют (11.89), а ц - произвольная функция, определенная на всей области, такая, что Уц = 0.

Типичная постановка граничных условий может быть рассмотрена на примере задачи о стационарном обтекании уступа. Граница AF на рис. 11.12 является входной границей. За границей ED образуется область возвратно-циркуляционного течения. На границе AF определена величина и, что позволяет определить яр из уравнений (11.87). На границе АВ скорость и полагается равной скорости набегающего потока и завихренность полагается равной нулю. Если у = О на АВ, то p постоянна и равна фл.

На границе ВС величина d%/dx очень мала и может быть отброшена в уравнении (11.85). Это изменяет тип системы (§16.1), и на границе ВС требуется поставить лишь одно условие. Если положить у = О на ВС, то д\1р/дх = О, что будет физически некорректно вблизи точки С. Более правильно на границе ВС положить dv/dx = 0. Тогда из (11.87) и (11.88) следует, что ду/ду = t,.

На поверхности FEDC граничным условием для функции тока будет условие = 0. Определить граничные условия на FEDC для завихренности более сложно. При формулировке

граничных условия можно представить в виде

где п - направление нормали к границе с.

Можно заметить, что граничные условия для остались неопределенными. Это справедливо для твердой поверхности, поскольку она является источником завихренности, которая в дальнейшем за счет процессов конвекции и диффузии переносится внутрь поля течения [Lighthill, 1963]. При рассмотрении задач об обтекании тел условие на удаленной границе типа = 0 может быть заменено на д/дп\с = 6, если поток является локально однородным.

При численном решении (§ 17.3) довольно часто удобно, особенно на твердой поверхности, иметь эквивалентное граничное условие для . Ранее это граничное условие часто выводилось из дискретного представления (11.88) таким образом, чтобы обеспечить выполнение условия д>!/дп\с = Ь. Однако в работе [Quartapelle, Valz-Gris, 1981] показано, что локального эквивалентного граничного условия для не существует. Должно выполняться интегральное условие на



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка