решением Брауна [Brown, 1960]. В среднеквадратичной ошибке, рассчитанной для решения RED-FEM, опущен вклад от точек X = 0. Величина Ах должна быть согласована с процедурой, принятой для программы THERM (п. 9.5.2). При достаточно мелкой в направлении х сетке решение RED-FEM может стать более точным, чем решение, полученное методом конечных элементов с приближенной факторизацией (AF-FEM). Однако более существенна экономичность решения RED-FEM, связанная с тем, что решение получается за один проход в направлении течения. Решение RED-FEM при Ах =0.05 примерно на порядок экономичнее решения AF-FEM при Ах = 0.20, причем достигается та же точность решения.

§ 16.2. Внутренние течения

Многие внутренние течения, например течения в трубах, каналах, воздухозаборниках двигателей, достаточно точно описываются укороченными уравнениями Навье - Стокса. Однако, как следует из табл. 16.1, исходные RNS-уравнення, как правило, являются эллиптическими.

Для стационарных внутренних течений полный поток массы через любое поперечное сечение постоянен. Это свойство может быть использовано для построения неэллиптических RNS-систем уравнений. Примеры приведены в п. 16.2.1 и 16.2.2. Для течений в сильно искривленных каналах в п. 16.2.3 будет описан другой подход, основанный на расщеплении поперечного поля скоростей. Расщепление скорости позволяет получить корректное вязкое решение за один маршевый проход в направлении течения.

Течение в прямых трубах и каналах в зависимости от расстояния от входа (рис. 16.7) может быть разделено на четыре типа [Rubin et al, 1977]. Число Рейнольдса для течений в каналах вычисляется по гидравлическому диаметру Dh и средней скорости Um. Разделение на четыре типа осуществляется следующим образом:

A. Течение непосредственно на входе, Хд порядка

0(D,/Re).

B. Течение во входной области, Xq порядка 0{Df.

C. Существенно вязкое течение, Xq порядка

0(D,Re).

D. Сформировавшееся течение, х Re.

Непосредственно на входе в канал в течении имеют место очень большие градиенты скоростей вблизи стенок, поскольку в

ЭТОЙ области из-за вязкости скорость набегающего потока уменьшается до нуля. Для правильного описания этой области необходимо решать полные уравнения Навье-Стокса на локально весьма мелкой сетке. В области В на стенках канала формируется пограничный слой. Поле течения может быть здесь определено на основе совместного анализа невязкого течения (гл. 14) и течения в пограничном слое (гл. 15). Такой подход

Набегающий поток

Re=pUr Df,/n

Рис. 16.7. Классификация течений для прямых каналов.

описан в работе [Rubin et al., 1977]. Однако течение в области В может быть рассчитано и на основе RNS-уравнений.

Достаточно далеко вниз по потоку, область С (рис. 16.7), пограничные слои сливаются и течение во всем поперечном сечении должно рассматриваться как вязкое. То есть, влиянием вязких членов в уравнениях уже нигде нельзя пренебречь. Для определения решения в этой области пригодны RNS-уравнения.

Еще дальше вниз по потоку (область D) течение перестает зависеть от направленной по потоку координаты jc. При маршевом алгоритме решения укороченных уравнений Навье - Стокса направленная по потоку координата х играет роль времени. Следовательно, решение этих уравнений в области D соответствует установившемуся решению в методе установления (§ 6.4).

Для многих внутренних течений канал (или иной проход) заканчивается в области В или С. Течения в диффузорах, рассматриваемые в п. 16.2.1, попадают под эту категорию. Для сформировавшегося течения (область D) появление препятствия внутри канала или на стенке приводит к образованию новой области С вниз по потоку от препятствия. Далее образуется новая область D.

При течении в канале с искривленной центральной линией образуются вторичные течения и область С сохраняется. Типичная поперечная картина линий тока (т. е. построенная по вто-

ричным компонентам скоростей v и w) приведена на рис. 16.8. Ось канала отклоняется вправо относительно направления набегающего потока. Методы расчета течений в каналах малой кривизны, рассматриваемые в п. 16.2.2, основаны на том, что уравнения можно сделать неэллиптическими по отношению к направлению вниз по потоку. Для расчета течений в каналах большой кривизны применимы методы, описанные в п. 16.2.3.

Плоскость поперечного течения

Рис. 16.8. Типичная картина поперечного течения в искривленном канале.

Как показано в п. 16.1.3, эллиптичность укороченных уравнений Навье - Стокса для дозвуковых течений обусловлена действием давления. Чтобы получить неэллиптические RNS-уравнения, необходимы дополнительные ограничения или приближения. Ниже это будет продемонстрировано на ламинарном несжимаемом течении в трубе (т. е. в канале кругового сечения). Соответствующие RNS-уравнения, эквивалентные (16.4) - (16.6), но записанные в полярной системе координат, имеют вид

(16.51) (16.52)

Для внутренних течений с малыми поперечными скоростями поперечное изменение давления мало и его градиентом в направлении маршевой переменной х в соответствующем уравнении импульса можно пренебречь. Таким образом, для