быть получено при любых числах Маха. Многие из приемов, описанных в § 16.2 и 16.3, в той или иной степени осуществляют контроль влияния члена др/дх.

16.1.4. THRED: задача ввода тепла

В п. 9.5.2 рассматривалась задач о втекании холодной жидкости в горячий двумерный канал. Для определения стационарного распределения температуры при заданном распределении скорости использовался метод установления. Та же задача здесь будет использована для иллюстрации механизма постановки и решения эквивалентной укороченной формулировки.

При использовании обезразмеривания (9.91) данная задача описывается низкоскоростным двумерным уравнением энергии

W + 4: (vT) - а. S - а, S = о, (16.41)

дх ду дх ду

где oLx = 10/(Рг Re), ay = 1.6/Рг. Граничные условия для уравнения (16.41) имеют вид (рис. 9.12)

Г(0, у) = 0 при x = 0, 7 = 0 npHX = w, (16.42)

Т{х, ±1)=1 при у = ±1.

За исключением области, расположенной в непосредственной близости ко входу в канал, л: = О, продольная температурная диффузия значительно меньше поперечной; следовательно, член ахдТ/дх в уравнении (16.41) может быть отброшен. В результате укороченное уравнение принимает вид

= (16.43)

Поскольку уравнение (16.43) параболическое по х, никаких граничных условий при X = Хтах ставить нсльзя. Остальные граничные условия определяются соотношениями (16.42).

Данная задача должна быть решена в области О х 2.00, - l.Oy 1.0 маршем в положительном направлении х, начиная от известного решения при х=0. Таким образом, х играет роль времени, а распределение температуры Г (О, у) определяет начальные условия.

В у-направлении используется групповой метод конечных элементов (§ 10.3) с линейной интерполяцией. Для производных по а: в уравнении (16.43) используется дискретизация Кранка - Николсона. Полученные алгебраические уравнения могут

312 Гл. 16. Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье - Стокса ыть записаны в виде

Q.bLy[{vTft+{vT)rl (16.44)

где п, j - индексы сетки в направлениях хну соответственно. Операторы Ly и Lyy - трехточечные центрально-разностные операторы:

My - массовый оператор, определяемый в конечно-разностной и конечно-элементной формулировках выражениями

Л1, = -, А*я конечно-элементного представления,

(16.46)

My = {Q, 1, 0} для конечно-разностного представления.

Представляется, что поле скоростей {и, v) известно. Следовательно, после соответствующей линеаризации относительно Т/ для ДГ/ (=Г/ - Г/) можно получить следующую линейную систему уравнений:

[Myul - + 0.5Лх [Lyv oLyLyy)] АГГ =

= AxayLyyTl - AxLy {юТ]) - Myf } АиК (16.47)

Для сравнения с полуаналитическим решением Брауна [Brown, 1960] предполагается следующее распределение скорости:

и=1.5(1 -у2), у = 0. (16.48)

При таком выборе распределения скорости, которое не зависит от осевого (х) положения, уравнение (16.47) упрощается:

{МуЩ + 0.5 x (LyVj - ayLyy)] АТГ =

= Ajc [ayLyyT] - Ly {vjT])l (16.49)

Уравнение (16.49) решается по программе THRED (рис. 16.4). Основные параметры этой программы описаны в табл. 16.2. Чтобы избежать разрыва в значении Г (О, ±1), имеющемся в условиях (16.42), в программе THRED используются следующие начальные данные при х = 0:

Г(0, у) = у. (16.50)

С THRED SOLVES THE REDUCED FORM OF THE THERMAL ENTRY PROBLEH

С BY C.N. MARCHING

DIMENSION T(41),DT(6S),U(41)Л(41)Д(б5),В(5,65),ЕИ(3) 1,ALF(10),DYFL(10)

DATA ALF/1.6815953,5.6698573*9.6682425,13.6676614Л7.6673736, 121.6672053,25.6670965,29.6670210,33.6669661,37.6664327/

DATA DYFL/-0.9904370,1.1791073,-1.2862487,1.3620196,-1.4213257. 11.4704012,-1.5124603,1.5493860,-1.5823802,1.6122503/

OPEN(1,FILE THRED.DAT)

0PEN{6,FILE THRED.0UT)

READ(1,1)NY,NXMAX,ME,DX,DXP,XMAX,PR

1 FORMAT(3I5,4E10.3)

IF(ME .EQ. 1)VRITE(6,2) IF(ME .EQ. 2)WRITE(6,3)

2 FORHATC REDUCED THERMAL ENTRY PROBLEM BY C.N.-FEH*,/)

3 FORMATC REDUCED THERMAL ENTRY PROBLEM BY C.N.-FDH,/) VRITE(6,4)NY,NXMAX,DX,XMAX,PR

4 FORMATC NY=M3, NXMAX M5, DX ,E10.3, XMAX ,F6.3/ PR 4 1F6.3,/)

NYP NY - 1

NYH NY/2 + 1

NYPP NY - 2

ANY NYP

DY = 2./ANY

ALY 1.6/PR

CA 0.5*DX/DY

CCA = ALY*DX/DY/DY

IF(ME .EQ. l)EM(l) 1./6.

IF(ME .EQ. 2)EM(1) 0.

EM(2) 1. - 2.*EM(1)

EM(3) EM(1)

С SET и,У AND Т INITIAL DATA

DO 5 К 1,NY KM К - 1 AK KM

Y -1. + AK*DY

U(K) 1.5*(1. - Y*Y)

V(K) 0,

5 T(K) = Y* 32

С SET UP TRIDIAGONAL COEFFICIENTS AND FACTORISE В

DO 6 К 2,NYP KM = К - 1 KP К + 1 B(1,KM) 0.

B(2,KM) = EM(1)*U(KM) - 0.5*CA*V(KM) - 0.5*CCA B(3,KM) EM(2)*U(K) CCA

B(4,KM) =EM(3)*U(KP) + 0.5*CA*V(KP) - 0.5*CCA B(5,KM) = 0.

6 CONTINUE B(2,l) = 0. B(4,KM) = 0.