1. Учитываются все члены уравнений, а не только высшие производные.

2. Можно непосредственно определить вклад различных членов системы уравнений в возможно появляющееся экспоненциально растущее решение.

3. Метод более работоспособен в том смысле, что возможен анализ и вырожденных систем (п. 2.1.4).

4. Решение задачи на собственные значения, например (16.21), имеет больший физический смысл, чем решение характеристического полинома, например (2.36).

16.L3, Качественное поведение решений укороченных уравнений Навье - Стокса

Исследование различных приближенных уравнений Навье - Стокса может быть проведено, как это сделано для уравнения (16.18), после их локальной линеаризации. То есть, значения и и V в конвективной части уравнений (16.5) и (16.6) предполагаются замороженными. Таким образом, настоящий анализ не учитывает явлений, связанных с нелинейными взаимодействиями. Так как уравнения (16.5) и (16.6) аналогичны уравнению (16.8) при 6 = 0, можно ожидать, что решение укороченных уравнений Навье -Стокса подобно решению уравнения (16.18) при 6 = 0 будет нарастать (затухать) вдоль линий тока. Имеет ли это место на самом деле, будет показано ниже.

При применении анализа Фурье KRNS-уравнениям (п. 16.1.1), подобно тому, как это было сделано в п. 16.1.2, необходимо рассмотреть не одно скалярное уравнение, например (16.8), а систему уравнений. Обобщение анализа Фурье на системы уравнений будет сначала продемонстрировано на уравнениях Навье -Стокса (16.1) -(16.3), описывающих несжимаемое стационарное двумерное течение. Вместо (16.20) предполагается, что

ий ехр (iOxX) ехр (/огу),

vvcxp{iaxX) ехр{Шуу), (16.24)

рргхр{ШхХ)ехр{Шуу),

где знак означает, что подразумевается такая форма решения. После подстановки (16.24) в замороженные уравнения (16.1) - (16.3) можно получить

Шх iOy О п

iA + {al + al)/Re о

О /A + K + (T2)/Re /orJLpJ

где Л = uGx +

Чтобы однородная система уравнений типа (16.25) имела решение, необходимо, чтобы det[ ] = 0. Для (16.25) это позволяет получить полином относительно Gxl

(а + о1) [i ( а, + vo) + {о1 + а)] = 0. (16.26)

Вид второго множителя совпадает с (16.21). Его корни равны = 1(У1/(и Re) - OyV/u, - i [и Re + ol/{u Re)] + av/u.

Экспоненциальный рост связан с первым корнем, если и меньше нуля, и со вторым, если и положительно. У первого множителя корни Gx = driGy. Мнимый корень со знаком минус после подстановки в (16.24) приводит к экспоненциальному росту по дс.

Система уравнений (16.1) -(16.3) эллиптическая. Это можно установить путем введения дополнительных переменных для вторых производных и построением на основе этого эквивалентной системы уравнений в частных производных первого порядка. Для анализа этой системы пригоден метод, описанный в п. 2.1.4, приводящий к характеристическому полиному (2.39).

Настоящий анализ Фурье дает идентичный полином, если в уравнении (16.26) отбросить член более низкого порядка i{uGx + VGy). Это согласуется с классификацией уравнений в частных производных, основанной на наиболее высоких производных по каждой независимой переменной.

Из (16.26) следует существование мнимых корней и при отбрасывании члена i{uGx + VGy), Это подтверждает, что система (16.1) -(16.3) эллиптическая. Следовательно, граничные условия должны быть определены на всех границах, § 2.4. Граничные условия ограничивают связанный с корнями уравнения (16.26) экспоненциальный рост решения системы (16.1) - (16.3).

Если описанный выше анализ, начиная с представления (16.24) и т. д., применить к укороченным уравнениям Навье - Стокса (16.4) - (16.6), вместо (16.26) получится следующий полином:

К + ( . + 1/) + = О- (16.27)

Пренебрежение диффузией в направлении потока, т. е. членами ди/дх и dv/dxy приводит к изменению второго множителя в уравнении (16.26). Подобное же изменение имеется в модельной задаче, приводящей к уравнению (16.21). А именно, корень второго множителя в уравнении (16.27) равен

До тех пор пока а положительно, не возникает экспоненциально нарастающих по х мод. Таким образом, укороченная форма уравнений Навье - Стокса эффективно подавляет экспоненциально нарастающие моды в операторах конвекции и диффузии.

Однако укороченная форма уравнений Навье -Стокса никак не влияет на первый множитель в уравнении (16.26), который полностью сохраняется в (16.27). Первый множитель в (16.27) имеет мнимый корень со знаком минус, который дает экспоненциальный рост в направлении х. Отбрасывание члена более низкого порядка i{uOx + (Уу) в уравнении (16.27) не влияет на мнимые корни первого множителя. Это означает, что укороченные уравнения Навье - Стокса являются уравнениями смешанного эллиптическо-параболического типа. Эллиптическое поведение связано с первым сомножителем в (16.27), а параболическое- со вторым.

Любая эллиптичность делает невозможным построение вре-мениподобного маршевого алгоритма, что собственно и вызывает интерес к укороченной форме уравнений Навье - Стокса. Если проследить, какие члены в уравнениях (16.4) - (16.6) входят в первый множитель (16.27), становится ясно, что эллиптическое поведение обусловлено взаимодействием членов с давлением в уравнениях импульса с такими же членами в уравнении неразрывности. Если бы в уравнениях каким-либо образом удалось подавить влияние членов др/дх и др/ду, эллиптического поведения можно было бы избежать.

Анализ Фурье укороченных уравнений Навье - Стокса для сжимаемых течений (16.12) -(16.15) приводит к более сложному, чем (16.27), полиному, который нельзя интерпретировать столь же точно. Можно рассмотреть промежуточную категорию течений, справедливую для трансзвуковых значений чисел Маха, описываемую уравнениями (16.12), (16.13), (16.17), и пренебречь, как в п. 18.1.2, диссипативным членом в уравнении (16.15). Уравнение (16.15) тогда можно заменить уравнением (11.104), которое может быть записано в безразмерной форме

-± = {1 + 0.5 (Y - 1) МЛ 1 - ( + т. (16.29)

Это уравнение используется для выражения р через р, а и у и исключения его из уравнений (16.13) и (16.17). Данное приближение согласуется с фактом малого изменения температуры в расчетной области при трансзвуковых числах Маха и адиабатических стенках.